设a是方程x^2+x+1=0的解,则4a^5+5a^4+3a^3-2a^2-3a+3=

设a是方程x^2+x+1=0的解,则4a^5+5a^4+3a^3-2a^2-3a+3=

a是方程x^2+x+1=0的解
那么a²+a+1=0

4a^5+5a^4+3a^3-2a^2-3a+3
=4a^5+4a^4+4a^3+a^4-a^3-2a^2-3a+3
=a^4-a^3-2a^2-3a+3
=a^4+a^3+a^2-2a^3-3a^2+3a+3
=-2a^3-3a^2+3a+3
=-2a^3-2a^2-2a-a^2+5a+3
=-a^2+5a+3
=-a^-a+1+6a+2
=6a+2

4a^5+5a^4+3a^3-2a^2-3a+3 =(4a^5+4a^4+4a^3)+(a^4+a^3+a^2)-(2a^3+2a^2+2a)-(a^2+a+1)+4 =4a^3(a^2+a+1)+a^2(a^2+a+1)-2a(a^2+a+1)-0+4 =0+0-0+4 =4

a^2+a+1=0 4a^5+5a^4+3a^3-2a^2-3a+3 =4a^3*(a^2+a+1)+a^4-a^3-2a^2-3a+3 =0+a^2(a^2+a+1)-2a^3-3a^2-3a+3 =0-2a(a^2+a+1)-a^2-a+3 =0-(a^2+a+1)+4 =0+4 =4

x⁴-3x³+(3-2a)x²+(3a-1)x+a(a-1) = x⁴-3x³+3x²-x-2ax²+3ax-a+a² = x(x-1)³-a(2x²-3x+1)+a² = (x²-x)(x²-2x+1)-a((x²-x)+(x²-2x+1))+a² = (x²-x-a)(x²-2x+1-a). 因此只需解两个关于x的一元二次方程: x²-x-a = 0和x²-2x+1-a = 0. 前者当a ≥ -1/4时有实根x = (1±√(1+4a))/2, 后者当a ≥ 0时有实根x = 1±√a. 注: 这里能够分解是出题人设置的巧合. 而这种分解方式可以解释为作为a的二次三项式来分解(十字相乘).

a是方程x^2+x+1=0的解：a²+a+1=0 4a^5+5a^4+3a^3-2a^2-3a+3 =(4a^5+4a^4+4a^3)+a^4-a^3-2a^2-3a+3 =0+(a^4+a^3+a^2)-2a^3-3a^2-3a+3 =0(-2a^3-2a^2-2a)-a^2-a-1+4 =0-0+4 =4

a是方程x^2+x+1=0的解,则a^3=1且a^2+a+1=0,于是: 4a^5+5a^4+3a^3-2a^2-3a+3 =4a^2+5a+3-2a^2-3a+3 =2a^2+2a+6 =2(a^2+a+1)+4=4