如何体现数学教学的过程特征和过程价值

如何体现数学教学的过程特征和过程价值

这就比较主观了，说不好 回答对不对

第一个问题 数学上很普遍：
比如  √2, 代表了无理数 小数部分无限不循环的性质。
f(x) = x^2 代表了二次函数 的 抛物线性质，= =

对于第二个问题，我觉得有点玄乎，而数学里面正好有个玄乎的东西，就是 悖论。 当时，也就是20世纪初期  罗素的悖论还引发了一场数学危机。

康托尔创立的集合论
定义了 集合可以分为两类：
第一类集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”；
第二类集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直线上点的集合。显然，一个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。

现在假定R是所有第二类集合所成的集合。那么，R是哪一类的集合呢？

  如果R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合组成，于是R又是第二类集合；如果R是第二类集合，那么，由R的定义，R必须是R的元素，从而R又是第一类集合。总之，左右为难，无法给出回答。这就是著名的“罗素悖论”。

如果你对集合不是太了解，上面的东西不太看得懂，你还可以查看理发师悖论 是集合悖论的通俗表达形式

一、目前教育所存在的问题     素质教育已经提倡了好几年，但是选拔人才的考试手段却无法一时取消.在考试还是往更高一级学府选拔人才的唯一手段时，应试教育还存在着旺盛的生命力.在应试教育的环境下，做大量的习题学会解题成了学生学习的主要内容.我国确实培养出了大量适合考试的，在国际数学竞赛中获奖的学生，但是这部分学生却在发明创造方面没有任何突出的表现. 在众多学科中，数学是学生比较畏惧的一门学科，事实已经证明：中国的中小学生甚至大学生中有相当数量的人有害怕数学的感觉，他们畏惧数学，逃避数学，成人中许多有特殊才能的人选择与数学无关的职业而远离数学.这就是通常我们所说的数学焦虑.在家教市场中，请数学家庭教师的家长明显地多于请其他学科的.在大学本科毕业考研究生时，大多数的学生感到困难的还是数学. 北京教育学院的连春兴先生对首都师大丽泽附中的高一新生进行了一次测验调查，在产生了令人震惊的测验结果后，他对一部分学生进行了访谈，访谈中一些学生的话语摘录如下：“主要原因（年级平均分仅仅36.2分，是什么原因造成了与中考成绩如此之大的反差？）是题型多数没见过，跟中考复习时做的题根本不是一个路子”，“11题我们没见过，我们只解过二元一次方程组，从不知一个二元一次方程还有解”，从这儿我们可以看出我们的学生是如何的“机械”.一些学生能解决数学题，也可能只是模仿老师的解法去做一次，当题目稍加变化时便束手无策，学生学习数学知识只停留在表面上，形式的记住了某个概念的词句，对公式、法则的套用，不知道概念的本质属性，不知道公式的来龙去脉，知其然不知其所以然，无法变通,如有的学生学习了函数的概念，在遇到y=f（x）（x∈R）与s=f（t）（t∈R）时就认为是2个不同的函数，或认为y=x（x∈[-1，0]）与y=x（x∈[0，1]）是同一个函数. 香港中文大学的黄毅英先生所带领的数学观研究小组在对学生的调查结果中显示：超出一半的学生认为获得正确的答案是了解数学的标准，他们让学生写出任何一个他曾了解或掌握某个数学题或公式的经验，发现对于这些学生，了解数学等同于掌握其背后原理、理清其中概念及弹性运用公式. 学生把数学看成一堆公式的集合，他们的问题解决方式十分机械化，学生普遍的做法是利用问题内容认定它们所在的课题，然后记忆该课题涉及些什么公式，再从一些线索选些他们认为合用的公式，然后代入数字得出答案，遵循着一个“记忆事实→运用算法→执行记忆所得来的公式→算出答案”的模式. 二、原因分析  产生以上种种的原因是多方面的，比如学生素质、家庭教育等，但与数学课堂教学也有着密不可分的关系.学生获得文化知识的主要途径就是学校的课堂.从五六岁上小学开始便在学校里学习数学，对他们影响最大的是讲课的老师.就当今的数学课堂而言，过程教学异化为结果教学的现象就是仍以获取结果知识为最终目的而设计教学相当普遍. 数学教材经过了教学法的加工，通常是用演绎的方法把概念、公式、法则、定理等内容互相联合起来的一个统一体，这种形式在一定程度上隐藏了数学的实际发现过程.面对这样的教材，我们的教育工作者似乎很少关注隐藏在其背后的丰富的数学过程知识，为了考试，知识体系被简单地肢解为知识点，强化题型覆盖知识的作用，注重结论和各种操作步骤，用机械记忆和反复强化的方法进行以落实知识点为目的的训练，这样我们的数学课堂成了解题教学. 曾经有人收集分析了教师给学生的数学习题，结果发现，这些数学题不只十分样板，各学校所提供的数学题相当划一.原因显然是紧扣考试，于是不同老师给学生的数学题都十分类似，对于考试的试题，我们看到学生经年累月身处没有多大变化的数学经验空间，不难相象他们渐渐会形成机械化的数学观. 三、我国数学教育正面临着一场深刻的教育变革，在数学教学和学习中“重结果，更要重过程”，这已是数学教育研究领域的基本共识，“重过程”需要我们数学教育工作者的共同努力. (一)数学观的改变 学生数学观的培养是学校数学教育不可忽视的一个方面，数学观的转变和对数学的了解与学习有着密不可分的关系. 从哲学认识的角度看,人的认识不是一次完成的，而是一个“实践—认识—再实践—再认识”的过程,数学也不例外.数学是从生活中来，并到生活中去，再在生活中逐步完善起来的.数学并不是绝对真理的集合,将数学看成一种绝对真理的静态数学观应向着承认数学是人类的一种经验或拟经验活动的动态数学观转变. 教师的数学观及他的教学布置（包括提供的数学题）对学生的数学观有着非常重要的影响,在教学中加强数学史的教育对学生建立正确的数学观有重要的作用. 1、直觉思维的培养 科学史表明：很多重大的科学发现都得益于直觉.数学的发现也不例外.直觉思维与逻辑思维互相交织、互相补充，是人们认识活动的左右腿，为了使学生能具备完整的认识能力和创造能力，就必须注意到逻辑与直觉这两种能力的培养. 机灵的预测、丰富的假说和大胆迅速地作出的试验性结论，这些是从事任何一种工作的必不可少的思想家极其珍贵的财富.学校的任务是什么？布鲁纳认为，就是要引导学生、儿童“掌握这种天赋”.“发展学生的天赋”是数学教育的责任.在数学教育中，要培养学生对直觉思维的运用.任何一张列出有史以来三个伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德、牛顿和高斯.阿基米德的王冠之谜，小高斯的神速求和，苹果落地与万有引力定律这三个科学发现的小故事众所周知，是什么因素促使他们成功地发现？爱因斯坦说：“真正可贵的因素是直觉”. 直觉思维不可忽视，应与逻辑思维并重，这是数学观改变的一个重要方面. 2、数学的发展是由不完备到完备，不严密到严密 人类史上的第一次数学危机致使了无理数的产生.古代的数学家认为与有理数对应的点充满了数轴，在公元前5世纪毕达哥拉斯学派发现没有任何有理数与数轴上这样的一点P对应（如右图），OP的长度根据勾股定理应为 .后来发现还存在着很多点不对应于任何有理数,在当时，人们的心里产生了极大的震惊.因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有 理数，所以把它们称为无理数，这便是无理数的产生，解决了数学史上的第一次数学危机，产生了实数系.但随着时间的推移与社会的发展，人们发现实数域没有提供解二次方程的完备理论.像 这样一个简单的方程没有实数解，为了解决这个问题，数学家便引进了使这个方程有解的数，就是今天我们熟悉的复数. 纵观数学史这样的例子很多，在平日的教学中我们应渗透这些数学史的知识，使学生明白数学也是在社会的发展中日趋完善的，是出现了问题后，我们为了解决问题而引进建立新的理论系统.数学的发展是动态的，而不是一堆真理的集合.日后，随着经济的发展，还会出现我们目前的数学体系无法解决的问题，到那时我们的数学又会向前发展一步到我们未知的领域. 课本中的字斟句酌的叙述，未能体现出创造过程中的斗争、挫折以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路.学生一旦认识到这一点，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强的追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到颓废. 3、数学中的许多东西是人为规定的，使学生明白这一点，可以揭开数学神秘的面纱，使学生学到更鲜活的数学. 出现了“+、—、×、÷”四则运算后，当出现了这样的式子“2+3×5”，在我们已经规定先算“×、÷”后算“+、－”的情况下，如果实际情况需要我们先计算“2+3”，这时我们该怎么办呢？人们便想到了括号，给“2+3”加上括号，并规定先计算括号内的，于是便有了“（2+3）×5”，这是人们规定的.所以，在教学中我们应向学生呈现一个动态的数学，并使他们明白有许多东西是人为规定的. 数学教学观受制于数学观，只有我们的数学观改变了，我们才能有更好的数学教学观去指导我们的数学教育工作.在结合数学史的同时向学生展现数学发展的过程，使学生了解到动态的数学，这对他们以后的学习工作都有很大的帮助，会使他们学到的不再是死板的数学. (二)在教学中设计以获取过程知识为目的的数学活动 现代数学教育不仅要教会数学的知识和技能性结果，还要包括这些知识的形成过程.学生通过经历数学活动这个过程，理解数学问题是怎样提出的，一个数学概念是怎样形成的，一个数学结论是怎样获得和应用的. 1、过程知识与过程知识的重要性 按照通常的说法，数学知识是指那种用数学术语或数学公式来表达的系统知识，而往往忽略另外一种在数学活动过程中形成的不能或很难用言语、文字或符号系统表述的“缄默知识”——只可意会不可言传的个人知识，为了便于区分，将前者称为结果知识，而将后者称为过程知识，结果知识是一种显性的静态知识，本质上是公开的和社会性的，而过程知识则是一种隐性的动态知识，本质上是潜在的和个人化的.结果知识的生存要依靠过程知识，过程知识几乎支配着整个的数学活动，是获取结果知识的向导.过程知识融入了个体特定数学活动场景中的特定心里体验，渗透着那些不言而喻的、下意识或潜意识的个性感受. 事实上，人们都有这样一种体会：学过的数学知识，若今后不再从事与数学有关的工作，很快就会忘掉.然而，不管从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法，推理方法，甚至经历的挫折，却随时随地发生作用，使人受益终生.这些所谓数学的精神、数学的方法、失败与挫折不能说没有“传授”的功绩，但更多的则是学习者自主参与数学活动中的体验、领悟、反思基础上的升华，也正是数学活动中获得的过程知识. 2、着力创造过程知识 教师必须意识到数学活动中大量过程知识的重要性，改变教师只是一个显性结果知识的传授者，一切教学活动归约于结果知识的观念.数学的发现应该得益于知识的来龙去脉.在教学中应注重知识的探究过程.数学活动情境使学生的学习方式不再是单一的枯燥的题型加题海的解题学习，它应是创设情境使学生体验数学的发现过程、完善过程和应用过程.特别要体现引导学生思考和寻找眼前的问题与自己已有的知识体验之间的关联方面.教学中要力求设计多样化的数学活动形式，创设恰当的问题情境，提供观察、实验、操作、猜想、归纳、验证等方面丰富、直观、具有生成性的背景材料、蕴涵数学过程，反映出思维的动向，引导学生参与数学活动，竭力使学生在获取大量动态过程知识的基础上完成知识的建构活动. 3、客观评价过程知识 就目前的数学课堂教学而言，效果的优劣的评判总是围绕着结果知识的掌握而展开—学生是否记住了一个数学概念、公式定理，是否会用某种方法解题，是否会用规则进行运算、推理、证明，并把这些作为考试、考察的基本指标.这导致几乎没有人关注学生在数学活动中所犯“错误”背后涵盖的个性化的过程知识，或者“奇思怪想”所映衬的基于体验的首创精神.其实，真正能够衡量和甄别学生认识能力和水平的不是他们对静态知识的记忆、再现和简单应用，而是他们从数学活动中获得的过程知识出发，对静态结果、知识所进行的动态理解、阐释、批判、综合和创新，如果学生以自己的活动方式积极、主动地探索数学，即便没有记住公式，掌握定理，也不应该以一个“什么都没学会”去定论，他在数学活动中的感悟、体验、甚至经历的失败都是达到高水平数学理解所必须的中间阶梯.