在△ABC中，若a+b+c分之a^3+b^3-c^3=c^2,且sinAsinB=4分之3，试判断三角形的形状。

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(a^3+b^3-c^3)/(a+b-c)=c^2 a^3+b^3-c^3=ac^2+bc^2-c^3 a^3+b^3=c^2(a+b) (a+b)(a^2-ab+b^2)=c^2(a+b) a^2+b^2-ab=c^2 由余弦定理a^2+b^2-c^2=2abcosC得： a^2+b^2＝c^2+2abcosC ∵a^2+b^2=c^2+ab ∴cosC=1/2 ∴C＝60° ∴A+B=2π/3. sinAsinB=sinAsin[(2π/3)-A] =sinA(sin2π/3cosA-cos2π/3sinA) =根号3/4sin2A+1/4-1/4cos2A=3/4 ∴sin(2A-π/6)=1. 又∵-π/6<2A-π/6<11π/6, ∴2A-π/6=π/2, A=π/3. ∴三角形为正三角形,即锐角三角形 答案补充
(a³+b³-c³)/(a+b-c)=c² --->a³+b³-c³=ac²+bc²-c³ --->a³+b³=ac²+bc² --->(a+b)(a²-ab+b²)=(a+b)c² --->a²-ab+b²=c²--->a²+b²-c²=ab --->cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2--->C=60°--->A+B=120 sinAsinB=(1/2)[cos(A-B)-cos(A+B)]=3/4 --->cos(A-B)=3/2+cos120°=1--->A=B=60°--->△ABC是等边三角形

(a^3+b^3+c^3)/(a+b+c)=c^2 a^3+b^3+c^3=ac^2+bc^2+c^3 a^3+b^3-ac^2-bc^2=0 (a+b)(a^2-ab+b^2)-c^2(a+b)=0 (a+b)(a^2-ab+b^2-c^2)=0 a+b≠0 a^2-ab+b^2-c^2=0 c^2=a^2+b^2-2abcosc 2abcosc=ab cosc=1/2 c=60° a+b=120° sinasinb=3/4 sinasin(120°-a)=3/4 sina{sin120°cosa-cos120°sina)=3/4 sina(√3/2cosa+1/2sina)=3/4 2√3sinacosa+2sin^2a=3 √3sin2a+(1-cos2a)=3 √3sin2a-cos2a=2 √3/2sin2a-1/2cos2a=1 sin2acos30°-cos2asin30°=1 sin(2a-30°）=1 0＜a＜120° -30°＜2a-30°＜210° 2a-30°=90° a=60° a=b=c=60° 等边三角形