若关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t，（t∈T）的解集非空．（Ⅰ）求集合T；（Ⅱ）若a，b∈T，求证：ab+1＞a+b
答案:2 悬赏:30
解决时间 2021-02-07 11:57
- 提问者网友：陪我到最后
- 2021-02-07 02:56
若关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t，（t∈T）的解集非空．（Ⅰ）求集合T；（Ⅱ）若a，b∈T，求证：ab+1＞a+b
最佳答案
- 二级知识专家网友：一起来看看吧
- 2021-02-07 04:25
∴（b-1）（a-1）＞0，b＞1，即（ab+1）-（a+b）＞0（Ⅰ）∵关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t的解集非空，
∴t大于|x-2|+|x-3|的最小值，
而|x-2|+|x-3|≥|（x-2）-（x-3）|=1，
当且仅当（x-2）（x-3）≤0，即2≤x≤3时取“=”号，
∴t＞1，即得T={t|t＞1 }．
（Ⅱ）（ab+1）-（a+b）=（ab-a）+（1-b）=a（b-1）-（b-1）=（b-1）（a-1），
∵a，b∈T，∴a＞1
∴t大于|x-2|+|x-3|的最小值，
而|x-2|+|x-3|≥|（x-2）-（x-3）|=1，
当且仅当（x-2）（x-3）≤0，即2≤x≤3时取“=”号，
∴t＞1，即得T={t|t＞1 }．
（Ⅱ）（ab+1）-（a+b）=（ab-a）+（1-b）=a（b-1）-（b-1）=（b-1）（a-1），
∵a，b∈T，∴a＞1
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- 1楼网友：怪咖小青年
- 2021-02-07 05:48
不明白啊 = =！
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