设等比数列{an}的前n项的和为Sn，公比为q（q≠1）．（1）若S4，S12，S8成等差数列，求证：a10，a18，a14

设等比数列{an}的前n项的和为Sn，公比为q（q≠1）．（1）若S4，S12，S8成等差数列，求证：a10，a18，a14成等差数列；（2）若Sm，Sk，St（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{an}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；（3）若q为大于1的正整数．试问{an}中是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．

（1）若S4，S12，S8成等差数列，q≠1，则2S12=S4+S8，
∴
2a1(1?q12)
1?q =
a1(1?q4)
1?q +
a1(1?q8)
1?q
∴2q8=1+q4
∴a10+a14=a1q9+a1q13=a1q9(1+q4)=a1q9?2q8=2a18，
∴a10，a18，a14成等差数列；
（2）若Sm，Sk，St（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，则2Sk=Sm+St，
∴
2a1(1?qk)
1?q =
a1(1?qm)
1?q +
a1(1?qt)
1?q
∴2qk=qm+qt
∴2a1qk＝a1qm+a1qt
∴am+1，ak+1，at+1成等差数列，
∴am+2，ak+2，at+2成等差数列；
（3）假设存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设ak=an+an+1，
则a1qk?1＝a1qn?1+a1qn
∵a1≠0，q＞1
∴qk-1=qn-1+qn
∴qk=qn+qn+1
∵qn+1＞1
∴qk＞qn
∴k＞n，qk-n=1+q
当q为偶数时，qk-n为偶数，而1+q为奇数，假设不成立；
当q为奇数时，qk-n为奇数，而1+q为偶数，假设也不成立，
综上，{an}中不存在ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续两项的和．

∵s4,s12,s8成等差数列 ∴s4+s8=2s12 又∵等比数列前n项和公式为sn=a1(1-q*n)/1-q ∴[a1(1-q*4)/1-q]+[a1(1-q*8)/1-q]=2*[a1(1-q*n)/1-q] 等式两边同时乘以（1-q) 得：a1(1-q*4)+a1(1-q*8)=2[a1(1-q*12)] →a1-a1q*4+a1-a1q*8=2a1-2a1q*12 →a1q*4+a1q*8=2a1q*12 →a5+a9=2a13 等式两边同时乘以q*5 得：（a5+a9)q*5=2a13q*5 即：a10+a14=2a18 ∴a10,a18,a14成等差数列