证明任意一个函数都可以是奇函数和偶函数之和

证明任意一个函数都可以是奇函数和偶函数之和

证明：任意函数f(x)可表示为[f(x)+f(-x)]/2 和 [f(x)-f(-x)]/2之和， 前者是偶函数， 后者是奇函数.

对任何一个函数f(x),都可以写成f(x)=g(x)+h(x) 其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数 为了证明这一点,我们并不是从一个奇函数和一个偶函数的和如何构成任意函数 而是通过证明任意函数都能分解成g(x)+h(x)来得证得. 正规的证明如下: 证明: 先假设f(x) = g(x) + h(x)是存在的,设为1式 则f(-x) = g(-x) + h(-x),设为2式 奇函数性质:g(x)=-g(-x) 偶函数性质:h(x)=h(-x) 那么分别拿1式+2式,1式-2式得到: f(x)+f(-x)=2h(x) f(x)-f(-x)=2g(x) 由此我们得出结论,对任意的f(x),我们能够构造这么两个函数 g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函数 h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数 且g(x)+h(x)=f(x) 证毕. 通过这个证明还能够得到如何分解成奇函数和偶函数的方法