ABC为三角形三个内角，满足2SinB=sinA+sinC.求B最大值

ABC为三角形三个内角，满足2SinB=sinA+sinC.求B最大值

2sinB=sinA＋sinC，即：2b=a＋c
cosB=(a²＋c²－b²)/(2ac)=[a²＋c²－(1/4)(a＋c)²]/(2ac)
=[(3/4)a²－ac＋(3/4)c²]/(2ac)
=(3/8)(a/c)＋(3/8)(c/a)－1≥2×(3/8)－1=1/2
即：cosB≥1/2，则：0 所以B的最大值是B0=60°，当B=(3/4)B0=45°，
2sinB=sinA＋sinA，则：sinA＋sinC=√2，
设：M=cosA－cosC，则：
M²＋(sinA＋sinC)²=2－2cosAcosC＋2sinAsinC=2－2cos(A＋C)=2＋2cosB=2＋√2
则：M²＋2=2＋√2，所以：M²=√2，即cosA－cosC是正负四次根号下2

2sinb=2sin(pi-a-c)=2sin(a+c)=sina+sinc=2sin((a+c)/2)cos((a-c)/2) 所以4sin((a+c)/2)cos((a+c)/2)=2sin((a+c)/2)cos((a-c)/2) 所以2cos((a+c)/2)=cos((a-c)/2) 展开得到2cosa/2cosc/2-2sina/2sinc/2=cosa/2cosc/2+sina/2sinc/2 即cosa/2cosc/2=3sina/2sinc/2 又要证明cos(a-c)=2cos(a+c)所以cosacosc+sinasinc=2cosacosc-2sinasinc 即cosacosc=3sinasinc 第一个结论有tana/2tanc/2=1/3 第二个结论有tanatanc=1/3 由于在三角形内所以a和c必然小于pi/2不然的话tan函数为负数第2个等式不满足 由于tan函数单调增加所以上面2个等式在三角形内不能同时成立. 也就是说楼主这个问题是证明不出来的.. 诶.浪费了时间在你这个无聊题目上..

解： 【1】 由题设2sinB=sinA+sinC及正弦定理可得： 2b=a+c. 结合余弦定理可得： cosB=(a²+c²-b²)/(2ac) =[(a+c)²-b²-2ac]/(2ac) =(3b²-2ac)/(2ac) =[(3b²)/(2ac)]-1 ∴1+cosB=(3b²)/(2ac) 【2】 由基本不等式及2b=a+c可得： 2b=a+c≥2√(ac). ∴b²≥ac, 等号仅当a=b=c时取得。 ∴(3b²)/(2ac)≥3/2. ∴1+cosB≥3/2 ∴恒有cosB≥1/2. 结合0º＜B＜180º可知：0º＜B≤60º ∴(B)max=60º