证明:(f(x),g(x))=1的充分与必要条件是(f(x)+g(x)),f(x)g(x))=1

应该是吧

|f(x), g(x)是多项式吧.
充分性: 设f(x), g(x)有公因式d(x), 即有d(x)|f(x)与d(x)|g(x).
可得d(x)|(f(x)+g(x))与d(x)|f(x)g(x), 即d(x)也为(f(x)+g(x))与f(x)g(x)的公因式.
但(f(x)+g(x),f(x)g(x))=1, 所以d(x)只能为非零常数, 因此(f(x), g(x))=1.
必要性: 设f(x)+g(x)与f(x)g(x)有不可约的公因式d(x).
由d(x)|f(x)g(x), 又d(x)不可约, 有d(x)|f(x)或d(x)|g(x), 不妨设d(x)|f(x).
又d(x)|(f(x)+g(x)), 于是有d(x)|g(x), 故d(x)为f(x), g(x)的公因式.
但(f(x),g(x))=1, 所以d(x)只能为非零常数, 因此(f(x)+g(x),f(x)g(x))=1.

必要性证明用到多项式均可分解为不可约因子的乘积.
以及不可约元的素性(d|ab蕴涵d|a或d|b).
另外, 严格来说不可约元不包含可逆元, 所以必要性部分应该算反证法.

充分性是显然的 必要性： 假设f,g互素，显然g的次数大于1 并存在a，b使得 fa+gb=1 则 (fa+gb)^2=f^2a^2+g^2b^2+2fgab =1 即f^2a^2+g^2b^2=1-2fgab 由于g^2|f^2 则g^2|f^2a^2+g^2b^2 即g^2|1-2fgav 因此g|1-2fgav 则g|1 因此g是零次多项式，矛盾！

我不知道 这么 题目 是神马意思 ，，所以 我帮不了你了。。。