线性代数 的矩阵证明 (A^n)-1 = A^-n = (A^-1)^n
答案:2 悬赏:30
解决时间 2021-01-04 02:52
- 提问者网友：我稀罕你
- 2021-01-03 04:23
线性代数 的矩阵证明 (A^n)-1 = A^-n = (A^-1)^n
最佳答案
- 二级知识专家网友：茫然不知崩溃
- 2021-01-03 05:54
前提应该是A要可逆吧。证明如下：
因为A可逆，设逆为 (A)-1，所以 (A^n)*(A^-1)^n=(A*A....A)*(A^-1*A^-1......A^-1)=(A*A....)*(A*A^-1)*(*A^-1......A^-1)=(A*A....)*I*(A^-1*A^-1......)=...=(A*A^-1)=I,所以 (A^n)的逆为(A^-1)^n，也就是 (A^n)-1 = (A^-1)^n
正因为以上的相等我们定义A^-n=(A^n)-1，这类比于实数的多次方的规律，即a^-n=1/a^n
因为A可逆，设逆为 (A)-1，所以 (A^n)*(A^-1)^n=(A*A....A)*(A^-1*A^-1......A^-1)=(A*A....)*(A*A^-1)*(*A^-1......A^-1)=(A*A....)*I*(A^-1*A^-1......)=...=(A*A^-1)=I,所以 (A^n)的逆为(A^-1)^n，也就是 (A^n)-1 = (A^-1)^n
正因为以上的相等我们定义A^-n=(A^n)-1，这类比于实数的多次方的规律，即a^-n=1/a^n
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- 1楼网友：怪咖小青年
- 2021-01-03 06:44
令
b=1 1
1 1
c=1 0
1 1
则b^n=2^(n-1)*b
c^n=1 0
n 1
所以
a^n=b^n o
o c^n
=2^(n-1) 2^(n-1) 0 0
2^(n-1) 2^(n-1) 0 0
0 0 1 0
0 0 n 1
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