设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．（1）当a∈（-∞，-2）时，

设数列{a n }满足a 1 =a，a n+1 =a n 2 +a 1 ，M={a∈R|n∈N*，|a n |≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a?M；
（2）当a∈（0，
1
4 ]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（
1
4 ，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

证明：（1）如果a＜-2，则|a 1 |=|a|＞2，a?M．（2分）
（2）当 0＜a≤
1
4 时， | a n |≤
1
2 （?n≥1）．
事实上，〔i〕当n=1时， | a 1 |=|a|≤
1
2 ．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），
则〔ii〕对n=k， | a k |≤| a k-1 | 2 +a≤(
1
2 ) 2 +
1
4 =
1
2 ．
由归纳假设，对任意n∈N * ，|a n |≤
1
2 ＜2，所以a∈M．（6分）
（3）当 a＞
1
4 时，a?M．证明如下：
对于任意n≥1， a n ＞a＞
1
4 ，且a n+1 =a n 2 +a．
对于任意n≥1， a n+1 - a n =
a 2n - a n +a=( a n -
1
2 ) 2 +a-
1
4 ≥a-
1
4 ，
则 a n+1 - a n ≥a-
1
4 ．
所以， a n+1 -a= a n+1 - a 1 ≥n(a-
1
4 ) ．
当 n＞
2-a
a-
1
4 时， a n+1 ≥n(a-
1
4 )+a＞2-a+a=2 ，
即a n+1 ＞2，因此a?M．（10分）

【一路追来，发现相同问题，竟提问3遍！稍改改再答！】

解：数列{2^δan}中各项均为1，

则δa(n+1)-δan=1，

可知数列{δan}为公差为1的等差数列。

又δa1=a2-a1，

有：sδa(n-1)=(n-1)[δa1+δa(n-1)]/2

=(n-1){δa1+[(δa1+(n-2)]}/2

=(n-1)(a2-a1)+(n-1)(n-2)/2

又sδa(n-1)=δa1+δa2+...+δa(n-1)

=(a2-a1)+(a3-a2)+...+[an-a(n-1)]

=an-a1.

得到an-a1==(n-1)(a2-a1)+(n-1)(n-2)/2.

由a21=a2008=0，可联立关于a1、a2二元一次方程组有：

0-a1==(21-1)(a2-a1)+(21-1)(21-2)/2.

0-a1==(2008-1)(a2-a1)+(2008-1)(2008-2)/2.

整理：20a2-19a1+190=0

         2007a2-2006a1+2007*1003=0

解得：a1=20070.

           a2=19057.