调数列收敛的充分且必要条件是有一子列收敛,怎么证明单

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怎么证明单调数列收敛的充分且必要条件是有一子列收敛

A(n)数列收敛：显然任意子列收敛，当然有一子列收敛。

设A(nk)是A(n)的一个收敛于a的子列，于是对任给ε>0，存在K,当k>K时有：
|A(nk)-a|<ε，于是|A(n(k+1))-a|<ε
a-εnk>n(K)=N时，a-ε limA(n)=a

因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数,n>n时,都有 (n>n),从而有 .取,则对一切的n,都有,所以数列有界.根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意：有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件．