已知A=(1 1 -1,),求3阶可逆矩阵P,使得成对角形,并求A^5

已知A=(1 1 -1, -2 4 -2 -2 2 0 ),求3阶可逆矩阵P,使得P^-1AP成对角形,并求A^5

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kqq9969


2012-12-12



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首先a的各行元素和为2，说明有一个特征向量x1 = (1,1,1)^t，特征值为2 又r(2e+a) = 1，说明方程(a+2e)x = 0有两个线性无关解x2,x3，所以x2,x3是a的特征值为-2的特征向量。这样我们找出了所有特征向量和特征值。 因为正交阵p的每一列都是a的特征向量，而上面我们已经知道a只有两个特征值。所有与x1垂直的向量肯定是特征值为-2的特征向量，换名话说，我们只要构造第一列与x1平行的正交矩阵p。比如说 p = 1/√3 1/√2 1/√6 1/√3 -1/√2 1/√6 1/√3 0 -2/√6 当然答案不唯一，你也可以用正交化的方法求一个。 我们有a = pdp^-1，d = diag{2,-2,-2}为对角阵 所以a^m = pd^mp^{-1}， d^m = diag{2^m, (-2)^m, (-2)^m} 再把你求的p代进去算就可以了。