已知S=1+1/2²+1/3²+1/4²+……+1/n²,则S的范围是?
答案:1 悬赏:30
解决时间 2021-02-20 08:19
- 提问者网友:謫仙
- 2021-02-20 03:15
已知S=1+1/2²+1/3²+1/4²+……+1/n²,则S的范围是?
最佳答案
- 二级知识专家网友:思契十里
- 2021-02-20 04:38
【1】
易知,对任意正整数n,
恒有:n(n-1)<n²<n(n+1).n=1,2,3,....
∴1/[n(n+1)]<1/n²<1/[n(n-1)]
即有:
(1/n)-[1/(n+1)]<1/n²<[1/(n-1)]-(1/n)
【2】
由上面结果的右边可得:
1/2²<1-(1/2)
1/3²<(1/2)-(1/3)
1/4²<(1/3)-(1/4)
1/5²<(1/4)-(1/5)
.......
1/n²<[1/(n-1)]-(1/n)
上式累加,可得
(Sn)-1<1-(1/n)
∴Sn<2-(1/n)<2
即Sn<2
又显然Sn≧1
∴1≦Sn<2
易知,对任意正整数n,
恒有:n(n-1)<n²<n(n+1).n=1,2,3,....
∴1/[n(n+1)]<1/n²<1/[n(n-1)]
即有:
(1/n)-[1/(n+1)]<1/n²<[1/(n-1)]-(1/n)
【2】
由上面结果的右边可得:
1/2²<1-(1/2)
1/3²<(1/2)-(1/3)
1/4²<(1/3)-(1/4)
1/5²<(1/4)-(1/5)
.......
1/n²<[1/(n-1)]-(1/n)
上式累加,可得
(Sn)-1<1-(1/n)
∴Sn<2-(1/n)<2
即Sn<2
又显然Sn≧1
∴1≦Sn<2
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