设向量组A：a1,a2,a3线性无关，向量b1能由向量组A线性表示，向量b2不能由向量组A线性表示，k为任意常数，

设向量组A：a1,a2,a3线性无关，向量b1能由向量组A线性表示，向量b2不能由向量组A线性表示，k为任意常数，

(1)
k1a1+k2a2+k3a3+k4(kb1+b2)=0
k1a1+k2a2+k3a3+k4(k(k1'a1+k2'a2+k3'a3)+b2)=0
(k1+kk1'k4)a1 +(k2+kk2'k4)a2+(k3+kk3'k4)a3+ k4b2=0
=>
(k1+kk1'k4) = 0 (1) and
(k2+kk2'k4) = 0 (2) and
(k3+kk3'k4) = 0 (3) and
k4=0 (4)
from (1),(2),(3),(4)
=> k1=k2=k3=k4=0
向量组a1,a2,a3,kb1+b2线性无关

(2)
k1a1+k2a2+k3a3+k4(b1+kb2)=0
k1a1+k2a2+k3a3+k4((k1'a1+k2'a2+k3'a3)+kk4b2)=0
(k1+k1'k4)a1 +(k2+k2'k4)a2+(k3+k3'k4)a3+ kk4b2=0
=>
(k1+k1'k4) = 0 (1) and
(k2+k2'k4) = 0 (2) and
(k3+k3'k4) = 0 (3) and
kk4=0 (4)
if k =0, 向量组a1,a2,a3,b1+kb2线性相关
if k不等于0，向量组a1,a2,a3,b1+kb2线性无关

反证法： 假设 a1,a2………am,lb1+b2线性相关 则 存在x1,...,xm使得 lb1+b2=x1a1+...+xmam.............(1) 又已知 向量b1能由向量组a线性表示 则 存在y1,...,ym使得 b1=y1a1+...+ymam.........(2) (1)-(2)*l得 b2=(x1-ly1)a1+...+(xm-lym)am 得 b2能由向量组a线性表示 与已知矛盾 故，m+1个向量a1,a2………am,lb1+b2必线性无关