a b c d为互异实数 则行列式 |1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^

a b c d为互异实数 则行列式 |1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^2 d^2 ||a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件

行列式=（a+b+c+d)(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)
∵a≠b≠c≠d
∴只有 a+b+c+d=0 时，才有 行列式=0
故充要条件为 a+b+c+d=0 .

解: 作辅助行列式d1 = 1 1 1 1 1 a b c d x a^2 b^2 c^2 d^2 x^2 a^3 b^3 c^3 d^3 x^3 a^4 b^4 c^4 d^4 x^4 此为vandermonde行列式, 故 d1 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d). 又因为行列式d1中x^3的系数-m44即为行列式d 所以 d = -(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(-a-b-c-d) = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). 由于 a,b,c,d 两两不等, 所以 d=0 的充要条件是a+b+c+d=0.