已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若对任意a∈[3，4]，函数

已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．

（1）因为f（x）=-x3+ax2+b，
所以f′（x）=-3x2+2ax=-3x（x-
2a
3 ），
当a=0时，f'（x）≤0，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜
2a
3 ．
故f（x）的单调递增区间为（0，
2a
3 ）；
当a＜0时，令f'（x）＞0，得
2a
3 ＜x＜0．
故f（x）的单调递增区间为（
2a
3 ，0）．
综上所述，当a=0时，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，
2a
3 ）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（
2a
3 ，0）．
（2）由（1）知，a∈[3，4]时，
f（x）的单调递增区间为（0，
2a
3 ），
单调递减区间为（-∞，0）和（
2a
3 ，+∞），
所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b，
函数f（x）在x=
2a
3 处取得极大值f（
2a
3 ）=
4a3
27 +b．
由于对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，
所以







f(0)＜0
f(
2a
3 )＞0 即







b＜0

4a3
27 +b＞0 解得-
4a3
27 ＜b＜0．
因为对任意a∈[3，4]，b＞-
4a3
27 恒成立，
所以b＞(?
4a3
27 )max=-4，
所以实数b的取值范围是（-4，0）．