抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，C上动点P到直线l：3x+4y-12=0的最短距离为1，求抛物线C的方程

抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，C上动点P到直线l：3x+4y-12=0的最短距离为1，求抛物线C的方程．

直线l：3x+4y-12=0的斜率k=-
3
4 ，y轴上的截距：3，
抛物线如果开口向上，与直线l会相交，最短距离不会等于1，
所以抛物线开口向下，设其方程为：x2=-2py，（p＞0）
抛物线上到直线l距离最短的点，是平行于l的抛物线的切线m的切点，
最短距离就是切线到l的距离．
设m的方程为3x+4y+q=0，令m和l的距离
|q+12||




9+16 =1，
求得q=-7或-17，q=-17在l下方，舍去．所以m：3x+4y-7=0．
与抛物线方程x2=-2py联立，代入得2x2-3px-7p=0，
只有一个公共点，△=9p2+56p=p（9p+56）=0，得P=
56
9
所以C的方程：x2=2（-
56
9 ）y，
即 9x2+112y=0

直线l:3x+4y-12=0的斜率k=-3/4，y轴上的截距-3， 抛物线如果开口向下，与直线l会相交，最短距离不会等于1， 所以抛物线开口向上，设其方程为：x²=2py, 抛物线上到直线l距离最短的点，是平行于l的抛物线的切线m的切点， 最短距离就是切线到l的距离。 设m的方程为3x+4y+q=0,令m和l的距离|q-(-12)|/√(3²+4²)=1， 求得q=-7 or -17，q=-17在l下方，舍去。所以m：3x+4y-7=0. 3x+4y-7=0，x²=2py联立，代入得2x²+3px-7p=0, 只有一个公共点，δ=9p²+56p=p(9p+56)=0,得p=-56/9 所以c的方程：x²=2(-56/9)y,即 9x²+112y=0