垂径定理的证明

垂径定理的证明

垂径定理的证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
　　

证明
图示

连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）
∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC

推导定理
推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平
原本命题，其中CD垂直于直线AB
分这条弦所对的两段弧。
几何语言：因为DC是直径，AE=EB，所以直径DC垂直于弦AB，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO
推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
几何语言：因为DC垂直AB，AE=EB，所以DC是圆的直径，劣弧AD等于劣弧BD，优弧ACO=优弧BCO
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
在5个条件中:
1.平分弦所对的一条弧
2.平分弦所对的另一条弧
3.平分弦
4.垂直于弦
5.经过圆心(或者说直径)
只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
　　
证明
图示
联结OA、OB分别交⊙O于点A、点B
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）
∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC

垂径定理及其推论：　　定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．　　推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．　　注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时,经常做垂直于弦的直径作为辅助线．　　（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦,并且过圆心,那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦,直线平分弦,直线过圆心,直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立,那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理,理解深刻,记忆准确,有利于应用．　定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧.　　推论一:平分弦(不是直径),的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 编辑本段证明 　　如图 ,在⊙O中,DC为直径,AB是弦,AB⊥DC,AB、CD交于E,求证：AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD 垂径定理证明图连OA、OB 　　∵OA、OB是半径 　　∴OA=OB 　　∴△OAB是等腰三角形 　　∵AB⊥DC 　　∴AE=BE,∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一） 　　∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC 　　∴弧AC=弧BC 编辑本段讲解 　　垂径定理又称“5-2-3”定理 　　其意为：①CD是⊙O直径AB是弦;②CD⊥AB;③AE=BE;④弧AD=弧BD;⑤弧AC=弧BC 　　在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.　　以下是推论 编辑本段推论 　　推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 　　但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:　　一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 　　1.平分弦所对的优弧 　　2.平分弦所对的劣弧 　　（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧） 　　3.平分弦 (不是直径) 　　4.垂直于弦 　　5.经过圆心 　　6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.追答希望采纳