高数中.连续性和可导性怎么判断

高数中.连续性和可导性怎么判断

高等数学中的函数才能谈到连续性与可导性
下面说一元函数就是只有一个自变量那种 比如f(x)=coslglnsin(4x+lnx+lgx+arcsinx+2sinx+2^x)
先提下基本初等函数 ：常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
A基本初等函数复合而成的复合函数 无论多么复杂 在它定义域上连续并可导！！
证明的时候：
【1】比如要你证明该函数在x=a处连续
那么只需要
1 lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f(x)
2 lim(x趋近于a)=limf(a)(此处暗含函数本身必须在x=a处有定义 否则直接判定他不连续，点都没有还如何连续)
满足上述1 2即可
这很难么？
或者对于一元函数来讲 可导必连续 可以先判定函数本身可导 那么他一定连续
牢记：对于初等函数与初等函数的复合函数而言 在定义域上 既可导又连续
【2】比如你要证明y=f(x)在x=a处可导
你先假设可导 那么有一个导函数y'=f'(x)
判定导函数导函数y'=f'(x)是否可导可按上述方法 一样的

那么只需要
1 lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f'(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f'(x)

满足上述1 即可 此处注意不需要导函数在x=a处有定义 可以说比连续的判断还要简单。
B 如果函数本身不是基本初等函数或其复合而成 那么就需要根据定义来 同样简单。

1.函数的连续性定义有三个条件 f(x)在x=x0点有定义；f(x)在x→x0时极限存在；极限值等于函数值 此外，还有个命题 基本初等函数在其定义域中连续，初等函数在其定义区间中连续。 因此，判断函数的连续性，一般先观察函数是否为初等函数（由基本初等函数经过有限次四则运算以及复合旦酣测叫爻既诧习超卢而成的函数），如果是，那么在它的定义区间上的每一点都是连续的！ 如果函数是个分段函数，那么先考虑每个分段上的连续性，然后考虑分段点的连续性，采用的方法依据定义来判断！ 2.函数的可导性主要是考虑极限lim δy/δx=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)是否存在的问题. 对于基本初等函数，它们也都是在它的定义域中可导的。 如果碰到分段函数，记得分段点的可导性一定要用定义来判断！ 此外，对于一元函数来讲，可导必连续，反之未必成立！