在三角形acb中，角acb=90°，ac=4，bc=2，以ab为边向外作等腰直角三角形abd，求cd的长

在三角形acb中，角acb=90°，ac=4，bc=2，以ab为边向外作等腰直角三角形abd，求cd的长

解：∵AC=4，BC=2，AB=， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°． 分三种情况： 如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED， 易求CD=2； 如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA， 易求CD=2； 如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F． ∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵∠DAB+∠DBA=90°， ∴∠EBD+∠DAF=90°， ∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠DBE=∠ADF， ∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD， ∴△AFD≌△DEB， 易求CD=3．

解法1： 过点d作de、df垂直于ca、cf，垂足为点e、f。 ∵∠acb=90°，de⊥ca，df⊥cf①，∴四边形cedf为矩形， ∵△abd为等腰直角三角形，∴有db=da②，∠bda=90°， ∴∠fde-∠bde=∠bda-∠bde=∠fdb=∠eda③， 根据①②③可得△fdb≌△eda（aas）， ∴有df=de，∴矩形cedf为正方形， 依题意及勾股定理可算得ab=√17/2，db=da=√34/4， 设正方形cedf的边长为x，fb=ea=y， 有fc-fb=bc=1/2，ce+ea=ca=2， 即x-y=1/2，x+y=2，解得x=5/4，y=3/4， ∴正方形边长为5/4，易得对角线cd=5√2/4。 解法2： 一个简单的方法就是运用“托勒密定理”： ∵∠acb=90°，等腰直角三角形abd内∠bda=90°， ∴点a、b、c、d在以ab为直径的圆上， 根据“托勒密定理”有ca×bd+bc×da=ab×cd， 依题意及勾股定理可算得ab=√17/2，db=da=√34/4， ∴2×√34/4+1/2×√34/4=√17/2×cd，解得cd=5√2/4。