已知函数f（x）=ae x ，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与两坐标轴的

已知函数f（x）=ae x ，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式
x-m
g(x) ＞


x 对任意不等于1的正实数都成立，求实数m的取值集合．

（1） f′(x)=a e x ，g′(x)=
1
x ．
y=f（x）的图象与坐标轴交于点（0，a）；y=g（x）的图象与坐标轴交于点（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴ a=
1
a ．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①当x＞1时，由
x-m
lnx ＞


x 得 m＜x-


x lnx 恒成立．
令 φ(x)=x-


x lnx ，则 φ′(x)=
2


x -2-lnx
2


x ．
令 h(x)=2


x -2-lnx ，则 h′(x)=
1



x (1-
1



x )＞0 ，
∴h（x）在[1，+∞）上递增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上递增．
∴m≤φ（1）=1．
②当0＜x＜1时，由
x-m
lnx ＞


x 得 m＞x-


x lnx 即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上递增．
∴m≥φ（1）=1．
综合①②得m=1．

（1）∵f（x）=aex， ∴f′（x）=aex， 函数f（x）=aex只于y轴交于（0，a）， 且f′（0）=a 又∵g（x）=lnx-lna， ∴g′（x）= 1 x ， 又∵函数g（x）=lnx-lna只于x轴交于（a，0）点 ∴g′（a）= 1 a 又∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 ∴a=1 ∴f（x）=lnx-ex-1， ∴f′（x）= 1?xex?1 x ， 令h（x）=1-xex-1，则h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（1）=0， ∴（0，1）上h（x）＞0，f′（x）＞0，函数单调递增； （1，+∞）上h（x）＜0，f′（x）＜0，函数单调递减， ∴函数f（x）=f（x）-g（x-1）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在区间[1，+∞）上恒成立，则xlnx-k（x2-1）≤0在区间[1，+∞）上恒成立， 令φ（x）=xlnx-k（x2-1）（x≥1），则φ′（x）=lnx+1-2kx， 令u（x）=lnx+1-2kx，则u′（x）= 1?2kx x ①k≤0，u′（x）＞0，φ′（x）在[1，+∞）上单调递增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函数单调递增， ∴φ（x）≥φ（1）=0，不合题意，舍去； ②0＜k＜ 1 2 ，x∈（1， 1 2k ），u′（x）＞0，φ′（x）在（1， 1 2k ）上单调递增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函数单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=0，不合题意，舍去； ③k≥ 1 2 ，u′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，φ′（x）在[1，+∞）上单调递减，φ′（x）φ′（1）=1-2k≤0，函数单调递减， ∴φ（x）≤φ（1）=0，即xlnx-k（x2-1）≤0在区间[1，+∞）上恒成立， ∴k的取值范围是[ 1 2 ，+∞）．