已知二次函数f（x）=ax2+|a-1|x+a．（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；（2

已知二次函数f（x）=ax 2 +|a-1|x+a．（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）关于x不等式 f(x) x ≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）函数g（x）=f（x）+ 1-(a-1) x 2 x 在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．

显然a≠0（1）若a＞0，f（x）的增区间为 -
|a-1|
2a ，+∞），而函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，不符合题意；
若a＜0，则f（x）=ax 2 +（1-a）x+a，其增区间为（-∞，-
1-a
2a ）．
又f（x）在（-∞，-1）上单调递增，所以有-
1-a
2a ≥-1，解得a ≤
1
3 ，
故a＜0，所以实数a的取值范围为：a＜0．
（2）
f(x)
x ≥2即ax+
a
x +|a-1|≥2，令g（x）=ax+
a
x +|a-1|，
则
f(x)
x ≥2在x∈[1，2]上恒成立，等价于g min （x）≥2，
g′（x）=a-
a
x 2 =
a(x+1)(x-1)
x 2 ，
①当a＞0时，x∈[1，2]，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上递增，
g min （x）=g（1）=2a+|a-1|≥2，解得a≥1；
②当a＜0时，g′（x）≤0，此时g（x）在[1，2]上递减，
g min （x）=g（2）=2a+
a
2 +|a-1|=
3
2 a+1≥2，解得a ≥
2
3 ，（舍）
综上，实数a的取值范围为a≥1．
（3）g（x）=ax 2 +
1
x +a在（2，3）上是增函数，
设2＜x 1 ＜x 2 ＜3，则g（x 1 ）＜g（x 2 ），
a x 1 2 +
1
x 1 +a＜ a x 2 2 +
1
x 2 +a，a（x 1 +x 2 ）（x 1 -x 2 ）＜
x 1 - x 2
x 1 x 2 ，
因为2＜x 1 ＜x 2 ＜3，所以a＞
1
x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) ，
而
1
x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) ∈（
1
54 ，
1
16 ），
所以a ≥
1
16 ．

 函数f（x）=x³—ax—1若f（x）在（－∞，＋∞﹚上单调递增  即f'(x)=3x^2-a恒大于0成立,所以a>=0