已知sin(α+β)=1/2sin(α-β)=1/3,证明tanα=5tanβ

详细解答

思想：切化弦 解方程 逆推
不妨从要证明的入手
要证：tanα=5tanβ
即证：sinα/cosα=5sinβ/cosβ
即证：5sinβcosα=sinαcosβ
所以从题目可知 sinαcosβ+sinβcosα=1/2
sinαcosβ-sinβcosα=1/3
所以 sinαcosβ=5/12 sinβcosα=1/12
可得 5sinβcosα=sinαcosβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1/2 (1) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1/3 (2) (1)+(2) 2sinαcosβ=1/2+1/3 sinαcosβ=5/6 (3) (1)-(2) 2cosαsinβ=1/2-1/3 cosαsinβ=1/6 (4) (3)/(4) tanα/tanβ=5 tanα=5tanβ

证明： ∵sin(α+β)=1/2,sin(α-β)=1/3 ∴sinαcosβ+cosαsinβ=1/2,sinαcosβ-cosαsinβ=1/3 ∴sinαcosβ=(1/2+1/3)/2=5/12 cosαsinβ=(1/2-1/3)/2=1/12 ∴(sinαcosβ)/(cosαsinβ)=5 即tanα/tanβ=5 ∴tanα=5tanβ 证毕