求递归数列a(n)=(n-1)a(n-1)+1 ,n>1;a1=1的通项公式?
答案:2 悬赏:70
解决时间 2021-02-08 12:55
- 提问者网友：斩断情丝
- 2021-02-07 13:15
求递归数列a(n)=(n-1)a(n-1)+1 ,n>1;a1=1的通项公式?
最佳答案
- 二级知识专家网友：转身→时光静好
- 2021-02-07 13:25
式1：a(n) = (n-1) * a(n-1) + 1
式2：a(n-1) = (n-2) * a(n-2) + 1，两边同时乘以(n-1)得
(n-1) * a(n-1) = (n-1)(n-2) * a(n-2) + (n-1)，同样可以得到
式3：(n-1)(n-2) * a(n-3) = (n-1)(n-2)(n-3) * a(n-3) + (n-1)(n-2)
…………
式n (n-1)(n-2)...2 * a(2) = (n-1)(n-2)...1 * a(1) + (n-1)(n-2)...2
把上面的n个式子累加，并约掉式子两边相同的项，可以得到：
a(n) = (n-1)! * a(1) + 1 + (n-1) + (n-1)(n-2) + ....+(n-1)(n-2)...2
代入a(1)=1,同时每一项的分子分母同时乘以适当的因子
= (n-1)!/0! + (n-1)!/(n-1)! + (n-1)!/(n-2)! + (n-1)!/(n-3)! + ... +(n-1)!/1!
提取公共因子
= (n-1)! * 求和( 1/i! ) ，其中i=从0到n-1
式2：a(n-1) = (n-2) * a(n-2) + 1，两边同时乘以(n-1)得
(n-1) * a(n-1) = (n-1)(n-2) * a(n-2) + (n-1)，同样可以得到
式3：(n-1)(n-2) * a(n-3) = (n-1)(n-2)(n-3) * a(n-3) + (n-1)(n-2)
…………
式n (n-1)(n-2)...2 * a(2) = (n-1)(n-2)...1 * a(1) + (n-1)(n-2)...2
把上面的n个式子累加，并约掉式子两边相同的项，可以得到：
a(n) = (n-1)! * a(1) + 1 + (n-1) + (n-1)(n-2) + ....+(n-1)(n-2)...2
代入a(1)=1,同时每一项的分子分母同时乘以适当的因子
= (n-1)!/0! + (n-1)!/(n-1)! + (n-1)!/(n-2)! + (n-1)!/(n-3)! + ... +(n-1)!/1!
提取公共因子
= (n-1)! * 求和( 1/i! ) ，其中i=从0到n-1
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- 1楼网友：随心随缘不随便
- 2021-02-07 13:54
楼主可以迭代下去
a(n)=(n-1)a(n-1)+1
=(n-1)(n-2)a(n-2)+n-1+1
=(n-1)(n-2)(n-3)a(n-3)+(n-1)+(n-1)(n-2)+1
=(n-1)!
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