用函数极限的定义证明当x趋近于1时(x^3-1)/(x^2-1)=3/2
答案:1 悬赏:20
解决时间 2021-02-21 19:24
- 提问者网友：练爱
- 2021-02-21 02:51
用函数极限的定义证明当x趋近于1时(x^3-1)/(x^2-1)=3/2
最佳答案
- 二级知识专家网友：往事隔山水
- 2021-02-21 04:07
证明：对任意ε>0，首先限定│x-1│<1，即0
│(x^3-1)/(x^2-1)-3/2│=│(x^2+x+1)/(x+1)-3/2│=│(2x+1)(x-1)/(2(x+1))│<5│x-1│/2<ε
得│x-1│<2ε/5，则取δ≤min{1,2ε/5}。
于是，对任意ε>0，总存在正数δ≤min{1,2ε/5}，当0<│x-1│<δ时，有│(x^3-1)/(x^2-1)-3/2│<ε
即lim(x->1)[(x^3-1)/(x^2-1)]=3/2。
│(x^3-1)/(x^2-1)-3/2│=│(x^2+x+1)/(x+1)-3/2│=│(2x+1)(x-1)/(2(x+1))│<5│x-1│/2<ε
得│x-1│<2ε/5，则取δ≤min{1,2ε/5}。
于是，对任意ε>0，总存在正数δ≤min{1,2ε/5}，当0<│x-1│<δ时，有│(x^3-1)/(x^2-1)-3/2│<ε
即lim(x->1)[(x^3-1)/(x^2-1)]=3/2。
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