已知f(x)=1/x,请问如何证明f(x)在(0,1)内不是一致连续的?
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-02-13 09:06
- 提问者网友:余味
- 2021-02-12 18:17
已知f(x)=1/x,请问如何证明f(x)在(0,1)内不是一致连续的?
最佳答案
- 二级知识专家网友:夢想黑洞
- 2021-02-12 19:24
所谓一致连续,就是要求当函数的自变量的改变很小时,其函数值的改变也很小,从而要求函数的导数值不能太大——当然只要有界即可.
函数f(x)在[a,b]上一致连续的充分必要条件是 在[a,b]上连续.
函数f(x)在[a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b)上连续且f(b-)存在.
所以f(x)在(0,1)是连续的
但是f(0+)不存在 没有上界 所以不是一致连续的
函数f(x)在[a,b]上一致连续的充分必要条件是 在[a,b]上连续.
函数f(x)在[a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b)上连续且f(b-)存在.
所以f(x)在(0,1)是连续的
但是f(0+)不存在 没有上界 所以不是一致连续的
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- 1楼网友:留下所有热言
- 2021-02-12 20:51
f(x)在集合e一致连续的定义:“对任意给定的正数ε,存在δ>0, 对所有x',x''属于e,只要|x'-x"|<δ, 都有|f(x')-f(x'')|<ε. ”
因此f(x)在集合e不一致连续的定义是:“对给定的某正数ε0,不论δ取值多么小, 总至少有两点x',x''属于e,虽|x'-x"|<δ, 却有|f(x')-f(x'')|>=ε.”
由此证明f(x) = 1/x在(0,1]不是一致连续的:
对ε0=1,不论δ取值多么小,总有自然数n,使得1/2n<δ, 于是我们取x'=1/n,x''=1/2n,虽|x'-x"|<δ,却有|f(x')-f(x'')|=|1/x‘-1/x''|=n>1.因此f(x) = 1/x在(0,1]不是一致连续的.
不知你有否明白?
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