求十字相乘法解的方程习题以及具体答案过程

十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关键是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 

例:x2+2x-15 

分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) 

(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 

=（x-3）（x+5) 


①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） 

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） 

a \-----/b ac＝k bd＝n 

c /-----\d ad＋bc＝m 

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 
5、十字相乘法解题实例： 
1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 
例1把m²+4m-12分解因式 
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 
解：因为 1 -2 
1 ╳ 6 
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 
例2把5x²+6x-8分解因式 
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 
解： 因为 1 2 
5 ╳ -4 
所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 
例3解方程x²-8x+15=0 
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 
解： 因为 1 -3 
1 ╳ -5 
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 
所以x1=3 x2=5 
例4、解方程 6x²-5x-25=0 
分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 
解： 因为 2 -5 
3 ╳ 5 
所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 
所以 x1=5/2 x2=-5/3 
2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 
例5把14x²-67xy+18y²分解因式 
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 
解: 因为 2 -9y 
7 ╳ -2y 
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 
分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3 
7y ╳ -1 
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1） 
5 ╳ 4y - 3 
=（2x -7y +1）（5x +4y -3） 
说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y 
=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y 
=（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1 
5 x - 4y ╳ -3 
说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3]. 
例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 
分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 
解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 
x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0 
x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b 
2 ╳ +b 
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b） 
1 ╳ -（a-b） 
所以 x1=2a+b x2=a-b