x2+y2+z2=1,求xyz存在的最大值!!

x2+y2+z2=1,求xyz存在的最大值!!

x^2+y^2+z^2>=3(∣xyz∣)^(2/3)
将x^2+y^2+z^2=1代入
得：3(∣xyz∣)^(2/3)＝＜1
整理得：∣xyz∣<=（√3/3）＾3
当且仅当x=y=z=√3/3时成立，
即：xyz最大值是√3／9

∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3② ∴①2-②可得：xy+yz+xz=-1 ∴xy+z（x+y）=-1 ∵x+y+z=1， ∴x+y=1-z ∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z2-z-1 ∵x2+y2=3-z2≥2xy=2（z2-z-1）?3z2-2z-5≤0?-1≤z≤ 5 3 令f（z）=xyz=z3-z2-z，则f′（z）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1） 令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜? 1 3 ， ∴f（z）在区间[-1，- 1 3 ]单调递增，在[- 1 3 ，1]单调递减，在[1， 5 3 ]单调递增， 当z=- 1 3 时，xyz的值为 5 27 ，当z= 5 3 时，xyz的值为 5 27 ， ∴xyz的最大值为 5 27 ． 故答案为： 5 27 ．

1/8

xyz<=x2+y2+z2/3=1/3

x^2+y^2+z^2>=3(∣xyz∣)^(2/3) ∣xyz∣<=1/3√3,故xyz最大值是1/3√3