a+b+c=1,求证：ab+bc+ac小于或等于1/3
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-02-28 04:42
- 提问者网友：℡她的他i☆
- 2021-02-27 15:30
a+b+c=1,求证：ab+bc+ac小于或等于1/3
最佳答案
- 二级知识专家网友：不羁的心
- 2021-02-27 15:38
a+b+c=1两边平方
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
所以
2=2a^2+2b^2+2c^2+4ab+4bc+4ac=(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+4ab+4bc+4ac
>=2ab+2bc+2ac+4ab+4bc+4ac
=6ab+6bc+6ac
所以
ab+bc+ac<=1/3
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
所以
2=2a^2+2b^2+2c^2+4ab+4bc+4ac=(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+4ab+4bc+4ac
>=2ab+2bc+2ac+4ab+4bc+4ac
=6ab+6bc+6ac
所以
ab+bc+ac<=1/3
全部回答
- 1楼网友：努力只為明天
- 2021-02-27 15:46
a^2+b^2≥2ab
b^2+c^2≥2bc
a^2+c^2≥2ac
三式相加
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
≥3(ab+bc+ca) =3
所以a+b+c≥根号3
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