试求矩阵A的逆矩阵其中第一行1,-1,0 第二行0,1,1 第三0,0,1

试求矩阵A的逆矩阵其中第一行1,-1,0 第二行0,1,1 第三0,0,1

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候，
即用行变换把矩阵(A，E)化成(E，B)的形式，那么B就等于A的逆
在这里
(A，E)=
1 -1 0 1 0 0
0 -1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 第2行减去第3行
～
1 -1 0 1 0 0
0 -1 0 0 1 -1
0 0 1 0 0 1 第1行减去第2行，第2行乘以-1
～
1 0 0 1 -1 1
0 1 0 0 -1 1
0 0 1 0 0 1
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
1 -1 1
0 -1 1
0 0 1

这里是利用“待定系数法”求所有与a可交换的矩阵。 假设矩阵x是与a可交换的矩阵，即ax=xa，因为a是2*2的矩阵，所以x也是2*2的矩阵（由a与x可以相乘时对阶数的限制条件得到），所以可设 x=(x11 x12 x21 x22) 从而ax= x11 x12 2x11+x21 2x12+x22 xa= x11+2x12 x12 x21+2x22 x22 （注：以上由矩阵相乘得到） 因为ax＝xa，根据矩阵相等的定义（对应位置对应元素相等），可得四个等式： x11 = x11+2x12 x12= x12 2x11+x21 = x21+2x22 x12= 2x12+x22 由第一个等式解得：x12=0 （表明矩阵x的第1行第2列元素是0） 由第三个等式解得：x11=x22 （表明矩阵x的两个主对角线元素相等） 四个等式对元素x21均无限制，所以x21可以任意取值。 所以与a可交换的矩阵x的一般形式为： x=x11 0 x21 x11