已知函数 f(x)=4cos(wx+ π 4 )(w＞0) 图象与函数g（x）=2sin（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相

已知函数 f(x)=4cos(wx+ π 4 )(w＞0) 图象与函数g（x）=2sin（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为 [- π 6 ， π 3 ] 时，求函数f（x）的值域．

（Ⅰ）由题意可得  
2π
ω =
2π
2 =π，∴ω=2，∴ f(x)=4cos( ωx+
π
4 ) =4cos（2x+
π
4 ），
令 2kπ-π≤2x+
π
4 ≤2kπ，k∈z，可得 kπ-
5π
8 ≤x≤kπ-
π
8 ，故函数的增区间为[kπ-
5π
8 ，kπ-
π
8 ]，k∈z．
（Ⅱ）∵x∈[-
π
6 ，
π
3 ]，∴-
π
12 ≤2x+
π
4 ≤
11π
12 ．
∴当2x+
π
4 =-
11π
12 时，函数f（x）=4cos（2x+
π
4 ）取得最小值为
4cos
11π
12 =4cos（ 
2π
3 +
π
4 ）=4cos
2π
3 cos
π
4 -4sin
2π
3 sin
π
4 =-（


6 +


2 ）．
 当2x+
π
4 =0时，函数f（x）=4cos（2x+
π
4 ）取得最大值为 4，
故函数的值域为[-


6 -


2 ，4]．

（1）∵函数f（x）与g（x）图象的对称轴完全相同， ∴ω=2， ∴f（x）的最小正周期为t= 2π ω = 2π 2 =π； （2）∵f（x）=2sin（2x+ π 6 ）+a， 令 π 2 +2kπ≤2x+ π 6 ≤ 3π 2 +2kπ，k∈z， ∴ π 3 +2kπ≤2x≤ 4 3 π+2kπ，k∈z， 即 π 6 +kπ≤x≤ 2π 3 +kπ，k∈z； ∴f（x）的单调减区间是[ π 6 +kπ， 2π 3 +kπ]，k∈z； （3）当x∈[0， π 2 ]时，2x∈[0，π]， ∴2x+ π 6 ∈[ π 6 ， 7π 6 ]， ∴sin（2x+ π 6 ）有最小值为- 1 2 ， ∴f（x）的最小值是2×（- 1 2 ）+a=-2， ∴a=-1．