问一道大一线性代数题

证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0，bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0

衷心感谢每位回答者！

过直线ax+by+c=0，bx+cy+a=0,交点的直线束为：ax+by+c+λ(bx+cy+a)=0
(a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0
必要性：
当cx+ay+b=0 相交于该点时：存在λ*使得 a+λ*b=c；b+λ*c=a；c+λ*a=b
三式相加得：λ*(a+b+c)=0
由于三条直线不同，所以λ*≠0， 故：a+b+c=0
充分性：若 a+b+c=0 则可得：c=-(a+b)
将其代人a+λ*b=c得：λ*=-2a/b-1
再将λ*=-2a/b-1代人b+λ*c得：b+λ*c=a
代人c+λ*a得：c+λ*a=b
∴cx+ay+b=0 相交于该点。
即：三条不同的直线ax+by+c=0，bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点

既然是线性代数，a,b是矩阵吗？

a^2＝a，b^2＝b

(a+b)^2＝(a+b)(a+b)＝a^2＋b^2＋ab＋ba＝a＋b＋ab＋ba＝a＋b，所以ab＋ba＝0

ab＋ba＝0两边左乘以a，得ab＋aba＝0

ab＋ba＝0两边右乘以a，得aba＋ba＝0

所以ab＝ba，由ab＋ba＝0得ab＝ba＝0

三个直线连列，得到一个非齐次方程组，交于一点充分必要条件应该是这个方程组有唯一解，这等价于方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩都等于2，这样试试看吧。

过直线ax+by+c=0，bx+cy+a=0,交点的直线束为：ax+by+c+λ(bx+cy+a)=0 (a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0 必要性： 当cx+ay+b=0 相交于该点时：存在λ*使得 a+λ*b=c；b+λ*c=a；c+λ*a=b 三式相加得：λ*(a+b+c)=0 由于三条直线不同，所以λ*≠0， 故：a+b+c=0 充分性：若 a+b+c=0 则可得：c=-(a+b) 将其代人a+λ*b=c得：λ*=-2a/b-1 再将λ*=-2a/b-1代人b+λ*c得：b+λ*c=a 代人c+λ*a得：c+λ*a=b ∴cx+ay+b=0 相交于该点。 即：三条不同的直线ax+by+c=0，bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点赞同1| 评论