双曲线焦距为8,过其中一焦点的直线被双曲线一支所截,最短弦长为4,则e=?

双曲线焦距为8,过其中一焦点的直线被双曲线一支所截,最短弦长为4,则e=?

焦距2c=8，则c=4。过焦点最短的弦是与实轴垂直的弦，即：4=2(b²/a)，得：2b²=4a=ac，所以：2(c²－a²)=ac，2c²－ac－2a²=0，两边除以a²，得：2(c/a)²－(c/a)－2=0，即：2e²－e－2=0，得：e=[1＋√17]/4

将y=x-c代入x²/a²-y²/b²=1，消去y整理得(b²-a²)x²+2a²cx-a²(c²+b²)=0， 因为直线y=x-c与双曲线左右支各有一个交点，所以上述方程有两个相异实根， 故-a²(c²+b²)/(b²-a²)<0，即b²>a²， 所以e²=c²/a²=(a²+b²)/a²>2， 抛物线y²=4cx的准线方程是x=-c，将其代入双曲线x²/a²-y²/b²=1， 得c²/a²-y²/b²=1，解得y=±b²/a， 由题意得2b²/a=2√2be²/3，即b/a=√2e²/3， 两边平方得b²/a²=2e^4/9，即e²-1=2e^4/9， 2e^4-9z²+9=0，解得e²=3或e²=3/2(舍去) 所以e=√3。