利用平面内的线性变换求双曲线xy=－1的焦点坐标和准线方程

参考答案 焦点（－√2，√2）（√2，－√2）
准线y=x＋√2 , y=x－√2

由转轴公式 x=x'cos45-y'sin45 y=x'sin45+y'cos45

得双曲线方程 y^2-x^2=2

焦点(0，土2)

准线y=1

然后用 x'=xcos45+ysin45 y'=-xsin45+ycos45 转回去 就得到答案了

化非标准方程为标准方程 双曲线y=1/x的实轴为直线x-y=0，虚轴为直线x+y=0 以原点为中心进行坐标系旋转变换，将直角坐标系xoy旋转π/2变换成直角坐标系uov 【 单位向量u=(1/√2)单位向量y+(1/√2)单位向量x，单位向量v=(1/√2)单位向量y-(1/√2)单位向量x 】 令(x+y)/√2=u，(-x+y)/√2=v，则x=(u-v)/√2，y=(u+v)/√2 所以双曲线y=1/x的实轴为直线x-y=0，即v=0，虚轴为直线x+y=0，即u=0 变换双曲线方程y=1/x，得(u+v)/√2=1/[(u-v)/√2] 得到直角坐标系uov上的标准方程u^2/2-v^2/2=1 所以a^2=b^2=2，c^2=a^2+b^2=4，c=2 所以在直角坐标系uov上的焦点坐标为(±2,0)，准线方程为u=±1 所以在直角坐标系xoy上的焦点坐标为(√2,√2)、(-√2,-√2)，准线方程为y=x±√2