在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD,作CM⊥AD的延长线于点M，求：AM=1/2(AB+AC)

在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD,作CM⊥AD的延长线于点M，求：AM=1/2(AB+AC)

在AM的延长线上做MN=MA，
1因为MA=MN且CM⊥AN，所以∠N=∠MAC且CA=CN;
2因为AD为∠BAC平分线，所以∠BAD=∠CAD;
3因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD;
所以∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ADB+∠CAD;（由2，3得）
因为∠ADC=∠NDC+∠N，∠N=∠MAC，∠NDC=∠ADB,所以∠ADC=∠N+∠NDC,
因为∠ADC=∠N+∠NCD,所以∠NCD=∠NDC,所以NC=ND
所以AM=AN/2=(AD+ND)/2=(AB+NC)/2=(AB+AC)/2.

延长am到点e，使得：me = md，连接ce。
则cm是de的垂直平分线，可得：md = me ，cd = ce ；
而且，ab = ad ，可得：∠e = ∠cde = ∠adb = ∠b 。

因为，∠ace = 180°-∠cae-∠e = 180°-∠bad-∠adb = ∠b = ∠e ，
所以，ac = ae 。

am = (1/2)(am+am) = (1/2)(am-md+me+am) = (1/2)(ad+ae) = (1/2)(ab+ac) 。