什么是“海伦公式”?

什么是“海伦公式”?

海伦公式的几种另证及其推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明:如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明:由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = -
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三:余弦定理
分析:由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。
证明:要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四:恒等式
分析:考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明:如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得:
+ + =
①②③代入，得:
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x
∴x = 同理:y = z =
代入 ④，得: r 2 · =
两边同乘以 ，得:
r 2 · =
两边开方，得: r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五:半角定理
半角定理:tg =
tg =
tg =
证明:根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得: r3 = ×xyz