数列极限证明: 设lim(n->∞)an=a,求证lime(n->∞) (a1*a2……an)^(1/n)=a
答案:1 悬赏:40
解决时间 2021-02-19 19:42
- 提问者网友:富士山上尢
- 2021-02-18 22:18
数列极限证明: 设lim(n->∞)an=a,求证lime(n->∞) (a1*a2……an)^(1/n)=a
最佳答案
- 二级知识专家网友:举杯邀酒敬孤独
- 2021-02-18 23:36
由条件a_n>0,可用“调和-几何-算术平均不等式”
n/sum(1/a_k) <= sqrt[n]{product(a_k)} <= (sum(a_k))/n
把乘积转化成和。然后用定义证明两边的极限都是a。最后用夹逼定理立得。
追问:转化成调和不等式的那一边怎么证明极限是a啊?
追答:因正数的极限是非负数,所以a>=0. 记X=n/sum_{k=1}^{n}(1/a_k).(1)
如果a=0,因每个a_k>0,显然X>=0,这正是我们想要证明的.
故,下面可以假设a>0。
按定义,只须证明: 任意eta满足0a-eta.(*)
因lim a_n=a,所以lim(1/a_n)=1/a.
按定义,对于epsilon=eta/3/a/(a-eta),(2)
存在L,任意n>L,1/a_n<1/a+epsilon.(3)
取定这个L,并记M=sum_{k=1}^{L}(1/a_k).(4)
因为M和epsilon都是正常数,所以存在N>L,使得任意n>N, M/n 当n>N时,由(1)(4)我们有 X = n/(M+sum_{k=L+1}^n (1/a_k)).
由(3),上式可以推出
X > n / (M+(n-L)(1/a+epsilon)).
因1/a+epsilon>0,而0 X > n / (M+n(1/a+epsilon))
= 1 / (M/n + epsilon + 1/a).
由(5),上式可以推出
X > 1 / (2epsilon + 1/a)
= a - 2a*epsilon/(2*epsilon+1/a).
由(2), 上式可以推出
X > a-eta.
这就证明了(*)。
n/sum(1/a_k) <= sqrt[n]{product(a_k)} <= (sum(a_k))/n
把乘积转化成和。然后用定义证明两边的极限都是a。最后用夹逼定理立得。
追问:转化成调和不等式的那一边怎么证明极限是a啊?
追答:因正数的极限是非负数,所以a>=0. 记X=n/sum_{k=1}^{n}(1/a_k).(1)
如果a=0,因每个a_k>0,显然X>=0,这正是我们想要证明的.
故,下面可以假设a>0。
按定义,只须证明: 任意eta满足0
因lim a_n=a,所以lim(1/a_n)=1/a.
按定义,对于epsilon=eta/3/a/(a-eta),(2)
存在L,任意n>L,1/a_n<1/a+epsilon.(3)
取定这个L,并记M=sum_{k=1}^{L}(1/a_k).(4)
因为M和epsilon都是正常数,所以存在N>L,使得任意n>N, M/n
由(3),上式可以推出
X > n / (M+(n-L)(1/a+epsilon)).
因1/a+epsilon>0,而0
= 1 / (M/n + epsilon + 1/a).
由(5),上式可以推出
X > 1 / (2epsilon + 1/a)
= a - 2a*epsilon/(2*epsilon+1/a).
由(2), 上式可以推出
X > a-eta.
这就证明了(*)。
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