设在向量组a1,a2,...,ar中a1≠0,并且每一个ai均不能由前面的i-1个向量线性表示。

设在向量组a1,a2,...,ar中a1≠0,并且每一个ai均不能由前面的i-1个向量线性表示。

因为β可由向量组α1,α2,..,αr线性表示。
所以存在一组数 k1,k2,...,kr 使得
β = k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr
1.  反证.
如果 αr 可由 α1,α2,...,αr-1 线性表示。
设   αr=t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1
则 β = k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr
= k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+kr(t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1)
即β可由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示。
这与已知矛盾。
所以αr 不能由 α1,α2,...,αr-1 线性表示。
2.
又因为β不能由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示
所以 kr≠0
所以 αr=(1/kr)β-(k1/kr)α1-(k2/kr)α2-...-(kr-1/kr)αr-1
所以 αr 可由α1,α2,...,αr-1,β线性表示。