奇函数f(x)在x∈R上满足f(3/2-x)=f(x),且f(2)=-3，求f(-31)+f(-6

奇函数f(x)在x∈R上满足f(3/2-x)=f(x),且f(2)=-3，求f(-31)+f(-6

-3
解：
∵ f(3/2-x)=f(x)
∴ f(3/2+x)=f(-x)
∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴ f(3/2-x)=-f(3/2+x)
∴-f(x-3/2)=-f(3/2+x)
∴ f(x-3/2)=f(x+3/2)
∴ f(x-3/2+3/2)=f(x+3/2+3/2)
∴ f(x)=f(x+3)
∴周期为3
∵f(x)是奇函数
∴ f(x)+f(-x)=0
∴f(0)+f(-0)=0
∴f(0)=0
f(-31)=f(-31+33)=f(2)=-3
f(-63)=f(-63+63)=f(0)=0
∴ f(-31)+f(-63)=-3

f(3/2-x)=-f(x-3/2)=f(x)

即-f(x-3/2)=f(x)

令x-3/2=t

x=t+3/2

-f(t)=f(t+3/2)

-f(x)=f(x+3/2)

f(x)=-f(x+3/2)

所以-f(x+3/2)=-f(x-3/2)

即f(x-3/2)=f(x+3/2)

再令x-3/2=t

则x=t+3/2

f(t)=f(t+3)

即f(x)=f(x+3)

所以f(x)是周期为3的周期函数

则f(a5)=f(-31)=f(-31+3*11)=f(2)=-f(-2)=3

f(a6)=f(-63)=f(-63+3*21)=f(0)=0(奇函数在x=0的值为0）

所以f(a5)+f(a6)=3

f(a-x)=f(x)成立的奇函数或偶函数都是周期函数 或者更一般的结论，有两个对称性（可以是轴对称也可以是中心对称）的函数都是周期函数 本题f(x+3)=[3/2-(x-3/2)]=f(x-3/2)=-f(3/2-x)（奇函数）=-f(x) f(x+6)=f[3+(x+3)]=-f(x+3)=f(x) T=6 f(-31)=f(-1)=-f(1)=f(2)=-3 f(-63)=f(3)=-f(0)=0（奇函数f(0)=0） 填-3

因为f(3/2-x)=f(x)，说明该函数关于x=3/4对称， 又因为f(x)是奇函数，所以f(x)是一个以T=3为周期的函数 f(x-3/2)=f(3/2-(x-3/2))=f(3-x)=-f(x-3)； f(x-3/2)=-f(3/2-x)=-f(x)； 所以f(x-3)=f(x) f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=-3