设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,求a值
答案:2 悬赏:70
解决时间 2021-03-14 21:30
- 提问者网友:年齡太小℡蘿莉
- 2021-03-14 12:03
具体过程
最佳答案
- 二级知识专家网友:统治我的世界
- 2021-03-14 12:17
(1)a=0时,-3x+1≥0,当x=1时,-3x+1=-2<0,所以-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立 (2)a<0时,f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数,其最小值为f(1). 若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,则需f(1)≥0 即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解. (3)a>0时, f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立,x∈[-1,1], ①x=0时,1≥0成立 ②0<x≤1时,a≥(3x-1)/(x^3) 令g(x)= (3x-1)/(x^3),求导得g’(x)=(3x^3-(3x-1)3x^2)/(x^6)=(-6x+3)/(x^4) 易知0<x<1/2时函数递增,1/2<x<1时递减, 所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4 ③-1≤x<0时,a≤(3x-1)/(x^3) g(x)= (3x-1)/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4) 可知g(x)在-1<x<0时是增函数,其最小值为g(-1)=4 ∴a≤4 由②知a≥4 ∴a=4. 综上知a=4.
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- 1楼网友:不羁的心
- 2021-03-14 13:55
(1)a=0时,-3x+1≥0,当x=1时,-3x+1=-2<0,所以-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立 (2)a<0时,f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数,其最小值为f(1). 若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,则需f(1)≥0 即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解. (3)a>0时, f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立,x∈[-1,1], ①x=0时,1≥0成立 ②0<x≤1时,a≥(3x-1)/(x^3) 令g(x)= (3x-1)/(x^3),求导得g’(x)=(3x^3-(3x-1)•3x^2)/(x^6)=(-6x+3)/(x^4) 易知0<x<1/2时函数递增,1/2<x<1时递减, 所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4 ③-1≤x<0时,a≤(3x-1)/(x^3) g(x)= (3x-1)/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4) 可知g(x)在-1<x<0时是增函数,其最小值为g(-1)=4 ∴a≤4 由②知a≥4 ∴a=4. 综上知a=4.
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