设函数f(x)=ln(2x+3)+x^2.讨论f(x)的单调性。求F(X)在区间[-3/4,1/4]的最大值和最小值

设函数f(x)=ln(2x+3)+x^2.讨论f(x)的单调性。求F(X)在区间[-3/4,1/4]的最大值和最小值

解：设x1<x2
f(x1)-f(x2)=ln(2x1+3)+x1^2-ln(2x2+3)-x2^2
=ln((2x1+3)/(2x2+3))+(x1^2-x2^2)
由于x1<x2,所以(2x1+3)/(2x2+3)<1,所以ln((2x1+3)/(2x2+3))<0.
(x1^2-x2^2)=(x1-x2)(x1+x2)
如果能判断（x1+x2）的符号为+，则能判断为递减函数，但为‘-’时则不容易判断。这是高中判断单调性的基本方法。但是本题就不能或者说用这种方法就很麻烦。那就要用函数求导的方法。
f’(x)=2/(2x+3)+2x
f'(x)>0时，函数递增。函数的定义域为x>-3/2.但f'(x)>0无解。所以f’(x)恒小于0.所以递减。
最大、最小值就容易解出来了。

解：设x1<x2
f(x1)-f(x2)=ln(2x1+3)+x1^2-ln(2x2+3)-x2^2
 =ln((2x1+3)/(2x2+3))+(x1^2-x2^2)
由于x1<x2,所以(2x1+3)/(2x2+3)<1,所以ln((2x1+3)/(2x2+3))<0.
(x1^2-x2^2)=(x1-x2)(x1+x2)
如果能判断（x1+x2）的符号为+，则能判断为递减函数，但为‘-’时则不容易判断。这是高中判断单调性的基本方法。但是本题就不能或者说用这种方法就很麻烦。那就要用函数求导的方法。
f’(x)=2/(2x+3)+2x
f'(x)>0时，函数递增。函数的定义域为x>-3/2.但f'(x)>0无解。所以f’(x)恒小于0.所以递减。
最大、最小值就容易解出来了。