已知an是关于x的方程xn+xn-1+xn-2+…+x-1=0（x＞0，n∈N且n≥2）的根，证明：（Ⅰ）12＜an+1＜an＜1； （

已知an是关于x的方程xn+xn-1+xn-2+…+x-1=0（x＞0，n∈N且n≥2）的根，证明：（Ⅰ）12＜an+1＜an＜1； （Ⅱ）an＜(12)n+12．

证明：（Ⅰ）设f（x）=xn+xn-1+xn-2+…+x-1，则f′（x）=nxn-1+（n-1）xn-2+…+2x+1
显然f′（x）＞0，∴f（x）在R+上是增函数．
∵f（1）=n-1＞0（n≥2），f(
1
2 )=

1
2 (1-(
1
2 )n)
1-
1
2 -1=-(
1
2 )n＜0，
∴f（x）在(
1
2 ，1)上有唯一实根，即
1
2 ＜an＜1（4分）
假设an+1≥an，∴an+1k≥ank(k∈N*)
则f（an+1）=an+1n+1+an+1n+…+an+1-1≥an+1n+1+ann+ann-1+…+an-1＞ann+ann-1+…+an-1=f（an）
∵f（an+1）=f（an）=0，矛盾，故an+1＜an（8分）
（Ⅱ）∵1-an=ann+ann-1+…+an2
∴由（Ⅰ）1-an=ann+ann-1+…+an2＞(
1
2 )n+(
1
2 )n-1+…+(
1
2 )2=
1
2 -(
1
2 )n，
∴an＜(
1
2 )<

证明：（ⅰ）设f（x）=xn+xn-1+xn-2+…+x-1，则f′（x）=nxn-1+（n-1）xn-2+…+2x+1 显然f′（x）＞0，∴f（x）在r+上是增函数． ∵f（1）=n-1＞0（n≥2），f( 1 2 )= 1 2 (1-( 1 2 )n) 1- 1 2 -1=-( 1 2 )n＜0， ∴f（x）在( 1 2 ，1)上有唯一实根，即 1 2 ＜an＜1（4分） 假设an+1≥an，∴an+1k≥ank(k∈n*) 则f（an+1）=an+1n+1+an+1n+…+an+1-1≥an+1n+1+ann+ann-1+…+an-1＞ann+ann-1+…+an-1=f（an） ∵f（an+1）=f（an）=0，矛盾，故an+1＜an（8分） （ⅱ）∵1-an=ann+ann-1+…+an2 ∴由（ⅰ）1-an=ann+ann-1+…+an2＞( 1 2 )n+( 1 2 )n-1+…+( 1 2 )2= 1 2 -( 1 2 )n， ∴an＜( 1 2 ) 本回答由提问者推荐 评论