讨论级数∑㏑【1+(-1)∧n/n∧p】的绝对收敛性和条件收敛性

讨论级数∑㏑【1+(-1)∧n/n∧p】的绝对收敛性和条件收敛性

1）由于
　　　　　 lim(n→∞)|㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}|/[1/(n^p)]
　　　　= lim(n→∞)|[(-1)^n]/(n^p)|/[1/(n^p)]
　　　　= 1，
故当 p>1 时，级数 ∑[1/(n^p)] 收敛，故原级数 ∑㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)} 绝对收敛；而当 p≤1 时，级数 ∑[1/(n^p)] 发散，故原级数非绝对收敛。
　　2）当 p≤1 时，考虑级数
　　　　∑[(-1)^n]{[(-1)^n]㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}}，
记
　　　　u[n] = [(-1)^n]㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}，
则 u[n]>0，且
　　　　|u[n]| = |[(-1)^n]㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}|
　　　　　　 ≤ 1/(n^p) → 0 (n→∞),
得知
　　　　lim(n→∞) u[n] = 0，
又
　　　　　u[n]-u[n+1]
　　　　= [(-1)^n]{㏑{1+[(-1)^n]/(n^p)}+㏑{1+[(-1)^(n+1)]/[(n+1)^p]}
　　　　= …… > 0，
据 leibniz 判别法，原级数收敛，因此是条件收敛的。