方程x∧3 +x - sinx = 1至少有一个实根的区间是() A.(-2,-1)

-1) B.(1方程x∧3 +x - sinx = 1至少有一个实根的区间是() A.(-2.(-1.(0,0) C,1) D

【答案】C
【解析】
设f(x)=x^3+x-sinx-1
f(-2)=-11+sin2＜0
f(-1)=-3+sin1＜0
f(0)=-1＜0
f(1)=1-sin1＞0
f(2)=9-sin2＞0
区间两个端点变号的仅有C

1）直接证明。 可设函数 f(x)＝sinx - x ，则 f'(x)＝cosx - 1 [ f'(x) 表示求导], 因 cosx≤1, 所以 f'(x)≤0, 那么 f(x) 在 (-∞,+∞) 内单调递减，其图像与 x轴仅有一个交点，故 方程 sinx - x＝0 （即 sinx＝x）只有一个实根 x＝0。 [注：虽然 f(x) 不是“严格单减”，但其驻点 ---- 即 x＝2kπ，k∈z ---- 都是离散的，所以 f(x) 不可能在 x 的某一个邻域 (x-△,x+△) 内为恒值，当然也就不可能在 x＝0 的邻域 (0-△,0+△) 内恒为 0。] （2）反证法。 设方程 sinx - x＝0 至少有两个根，且相邻的两根为 x1，x2（不妨设 x1＜x2），由于 f(x)＝sinx - x 是连续可导函数，那么在 (x1，x2) 内必有一个极值点 x3，因此在区域 (x1，x3) 或 (x3，x2) 必存在“单调递增”区域，这与 f'(x)＝cosx - 1≤0 矛盾，所以 方程 sinx - x＝0 仅有一个实根 x=0。