飞机定价问题的数学模型

飞机定价问题的数学模型

1. 改型飞机进气道的特点
飞机由机身、机翼和进气道三大部件组成，而进气道外形曲面复杂并应满足空气动力学的要求。改型飞机外形是在原型飞机外形的基础上再取部分框段之间加长设计；其中，机身和机背油箱外形在加长框段以等截（柱）面型式加长；唯有进气道外形的加长段处于发动机进气唇口而曲面非常复杂，在加长段前框上及之前部分和加长段后框上及之后部分必须保证和原型飞机进气道外形完全重合，而在加长段框与框之间新增部分的外形要流线过渡，并且必须满足空气动力学要求而取消制作模型去风洞进行吹风试验的重要研制环节。
针对这种特定条件的进气道外形进行计算机几何造型设计数学模型，无成功的经验可供借鉴，技术难度高，风验大；市场对该改型飞机的订购合同要求的研制周期仅为传统研制周期的三分之一，来不及做模型去风洞进行吹风试验。

在深入分析当前国内各航空公司生产计划工作现状的基础上,选择了飞机排班计划作为研究课题,通过系统分析飞机排班工作的流程和要求,提出了描述飞机排班问题的数学模型.由于该问题是多目标、非线性的,因此寻找一种统一的能够适应各种具体要求,并且满足工程应用需要的多项式算法存在理论上和技术上的困难.为此论文在借鉴手工编制排班计划经验的基础上,将一个具体的飞机排班问题,归结为三种典型排班模式中的一种,即:基于飞机调度指令要求的排班问题,基于飞机使用均衡要求的排班问题和基于最少需用飞机数的排班问题,对于每种典型的飞机排班模式,在对次要的约束条件进行简化、松驰的基础上构造出相应的能够满足工程应用要求的启发式算法,并分析了算法的复杂性.该项研究为研制飞机排班决策支持系统软件奠定了理论基础.论文的主要创新工作在于:1.根据当前国内航空公司的运营组织模式特点,以及飞机排班工作的实际需求,提出了描述飞机排班问题的数学模型,并通过将一般形式的飞机排班问题归结为三种典型的飞机排班模式,构造出相应的启发式算法,填补了国内在此领域的研究空白.2.在解决基于飞机调度指令要求的飞机排班问题时,该文提出的分阶段指派算法较好地克服了标号算法的缺陷,该算法能普遍地应用于处理类似的固定工件排序问题.3.在解决使飞机均衡使用的飞机排班问题时,该文利用航班节的网络模型将原问题转化为一个使目标函数最小的航班节编组问题,在此基础上构造了一个模拟退火算法.4.在解决最少需用飞机数要求的飞机排班问题时,该文将寻找航班节衔接方案问题,描述成一个二部图的匹配问题,进而通过解两个二部图的最小权最大匹配,寻找需用飞机数最少的飞机调度方案.

1. 改型飞机进气道的特点 飞机由机身、机翼和进气道三大部件组成，而进气道外形曲面复杂并应满足空气动力学的要求。改型飞机外形是在原型飞机外形的基础上再取部分框段之间加长设计；其中，机身和机背油箱外形在加长框段以等截（柱）面型式加长；唯有进气道外形的加长段处于发动机进气唇口而曲面非常复杂，在加长段前框上及之前部分和加长段后框上及之后部分必须保证和原型飞机进气道外形完全重合，而在加长段框与框之间新增部分的外形要流线过渡，并且必须满足空气动力学要求而取消制作模型去风洞进行吹风试验的重要研制环节。 针对这种特定条件的进气道外形进行计算机几何造型设计数学模型，无成功的经验可供借鉴，技术难度高，风验大；市场对该改型飞机的订购合同要求的研制周期仅为传统研制周期的三分之一，来不及做模型去风洞进行吹风试验。 2. 改型飞机进气道外形数据的来源 根据设计原则和原型飞机进气道外形的特点，其外形数据分二部份：原型飞机进气道外形数据和加长段框之间的外形数据。 改型飞机未加长的框所构成的进气道外形与原型飞机进气道外形完全重合的依据和查对标准，只能是原型飞机的外形理论模线。改型飞机进气道外形因为来不及作吹风模型进行气动试验以确定外形数据，则先采用有机玻璃样条压节点手工画出加长段框之间的外形理论模线作为初始设计数学模型的数据取制依据。 如果将改型飞机进气道外形的计算机几何造型过程看作是多次迭代的过程，则上述方式来源的数据则只作为迭代的初值。 3. 改型飞机进气道外形计算机几何造型的数据模型 3.1 坐标系：数据坐标系、几何造型坐标系、飞机坐标系必须三者一致。以飞机水平基准线的前缘点作为坐标系原点，以水平基准线为X轴（逆航向为+X），以过前缘点的对称轴线为Y轴（向上为+Y），Z轴按右手坐标系确定。 3.2 采数方式：在模线台上用高倍放大镜和坐标刻度尺读取原型飞机及其加长段外形理论模线上的坐标数据，数据分布方式要满足几何造型数学模型的要求和模线的状态。 3.3 数据的前置处理：进气道外形数据分为二组：内侧与外侧。 改型飞机进气道内侧：横向从上角点至下角点，纵向从头剖面至末框。 改型飞机进气道外侧：横向从上角点至下角点，纵向从头剖面至末框。 采用三维参数样条函数对横向各框及插入剖面进行插值并匀化，使横向各框、剖面数据处理成相同点数。必要时，纵向也要插值、加密、匀化坐标数据。 4. 改型飞机进气道外形数学模型 1964年，Coons提出了一种利用一组有四条边界的曲面片表示曲面的方法，1967年他在一篇报告中使其概念更加明确化并加以推广，形成Coons曲面法。该方法的本来目的为使设计人员把若干个有适当形状的曲面片拼起来重新构成一张复杂的曲面；但是，有时需要用这种方法来表示一张已由其他方法定义了的曲面，比如本文介绍的改型飞机进气道外形曲面。用一定数量的Coons曲面片组成一张良好地拟合于近拟描述改型飞机进气道外形曲面的曲线网格上的一组点，而曲面上的曲线无须是曲面与平面的交线，唯一的限制是同方向的曲线不能彼此相交。 Coons曲面广泛应用于世界各大飞机制造的计算机辅助设计，是先进实用的计算几何方法。Coons曲面是通过一组具有四条边界的曲面片来表示曲面，这些曲面片的边界曲线由u或w 分段参数方程表示，边界曲线段的端点就是曲面片的角点，对应于参数的整数值。 4.1 空间曲线数学方程的建立 采用空间两点处的位置矢量和切矢量并引入权函数建立空间曲线方程，其形式假定为： 这里，选定生成权函数的基矢为三次基矢： 则基矢与权函数之间可表示为： 将u=0,u=1先后代入(3)、(4)并由(2),得 不难得 将M代入(3),得 权函数一旦确定，曲线方程便可定义。 4.2 曲线方程的求解 式（19）表明存在n+1 个 ，但只有n-1个方程，缺少两个条件，通常用端点条件补充。端点条件的选取可有多种方法，现介绍一种方法。当端点切矢 未知时，假定各段曲线的弧长与其弦长相差不大时（小挠度）， 方程（19）可以这样来求解，即参数曲率的平方沿曲线积分关于 最小，则所有 被确定。 取目标函数： 4.3曲线的光顺 改型飞机外形几何造型的数据来源于模线手工测量，免不了带有测量误差，曲线的光顺处理是必要的。光顺方法以下述力学模型为基本出发点：在空间一组有序点坐标的每一个位置上吊着一根弹簧，每一根弹簧的另一端绑在一条弹性线上。设想我们施加外力使曲线点点通过这一组点，即设想弹簧的初始长度均为零。当撤去外力后，弹性线将发生形变，拉伸着每一根弹簧，直到最后达到平衡状态。该平衡状态，可看作是对给定点坐标组作成的最光顺的曲线。 设V1表示弹簧位能的总和，V2表示弹性线反弹簧能的总和，所以整个力学模型系统的能量是U=V1+V2： 如果细看，不难发现V1即为弹性线与原始型值的偏离；要使V1达到极小即要求各偏离绝对值之总和达到极小。V2是所求曲线的曲率的平方在该曲线上的积分和；要使V2达到极小值，就是表明整条曲线都应当尽量减少多余的凹凸，即为光顺的意思。 总能量为V1与V2二者之和，前者要求Ci大为佳，而后者希望EI大为好，这是一对矛盾，EI与Ci的值要用试验选择。 根据平衡状态应使能量U最小的原理，可以算出 ，进而确定曲线方程的一个近拟，就是该光顺方法的基本思想。 如（48）式所示，要使U达到最小，则变动（14）式中的中的 使， 而（48）中的V1和V2均是正项，（V1≥0， V2≥0），故要使U达到极小值的话，就等价于要求V1与V2同时达到极小值。 将受弯矩作用的弹性线的弹性能表为： 式中，l为弹性线的长度，S为弧长，K（S）为弧长S处的曲率。要使贮存在 弹性线内弹性能达到最小，就可以得到光顺的曲线。把第i段的参数方程（14），变形为： 式中，系数矢量为 因为对于第i段曲线有ds=(Si—Si-1)du=hdu故曲率矢量，为 就是说，当每一曲线段的弯曲与其弦长比较相差很小时，则可以将（48）式中的曲率近似表示为 总弹性能是V=V1+V2+…+Vn，把位置矢量 当成调节量，寻找这些量的适当的值，使V达到最小，而各加项Vi中的常数因子2EI可以不予考虑；且假定，作调整的时候各hi保持不变，因此它们的比值ki也被看作是常数。在V的各加项中，只有 到此为止，推导出能量最小原理光顺空间曲线的两个基本方程（59）和（64）。先由给定的位置矢量及端点条件（端点条件未知时，可由相邻两点与端点共同构作圆弧求出端点切矢；或由式（45）、（46）、（47）确定端点切矢）；由式（59）求出切矢 ，由（64）从这些求得的切矢解出新的位置矢量 ；又根据这些修正后的位置矢量由（59）算出修正后的切矢，这样反复迭代。迭代次数就是光顺修正的次数。当迭代次数指定为零时，表示点点通过初始的型值点而拟合出曲线而得到“样条函数曲线”。当 处的曲率符号与上一次迭代所得的曲率的符号在相同标号的坐标点处一致时，就认为曲线是光顺的。 4.4 曲面数学公式 改型飞机进气道外形分为内侧和外侧两张曲面，用Coons曲面作数学描述。 双三次Coons曲面片，可表示为 4.5 截面理论外形的计算 单个曲面片求交线方法扩展得知。截面外形计算按参数变化方向分为沿u向计算和沿w向计算两种。计算时指定控制参数： 表示沿参数u或w方向计算的始、终及步长。以u向计算为例，在曲面上按u找到u向对应的曲面条，从其中首个曲面片开始判断该曲面片对应的u线与截平面有无交点，若无交点继续向前扫描判断直至有交点为止，用对分法求出交点， ，继续计算，直至u＞ue为止。 4.6 切斜角计算 与进气道外形内蒙皮有装配关系的零件外缘，需要注明相应的弯边斜角值，以便制造这类零件与工装。 零件弯边斜角的定义有两种方法：切线法（切斜角）与割线法（割斜角），割线法也称为二截面法。切线法定义斜角易计算，因此应用更多更方便。 零件外形Pi点的弯边斜角是指弯边在Pi点处零件外形法平面内的倾斜角。 5．结束语 改型飞机是应市场需要而研制和批生产的教练飞机，经过长时间服役的飞行考验，已证明改型飞机进气道外形数学模型是成功的并获得贵州航空工业科技进步一等奖。限于本文篇幅而省去有关内容，如曲面光顺、为制造工艺提供依据的若干算法等。 参考文献