在RT△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于E,求证AE^2=AC^2+BE^2

在RT△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于E,求证AE^2=AC^2+BE^2

连接AD
BE^2=BD^2-DE^2
∵D是BC中点
∴CD=BD
∴BE^2=CD^2-DE^2
∴BE^2=（AD^2-AC^2）-（AD^2-AE^2)
∴BE^2=AE^2-AC^2
∴AE^2=AC^2+BE^2

勾股定理来回倒腾

C作CF垂直AB交AB于F，则 AC^2=AF*AB (射影定理) =(AE-FE)(AE+EB) 因为D是BC的中点，所以 EB=EF 从而 AC^2=(AE-FE)(AE+EB) =(AE-BE)(AE+EB) =AE^2-BE^2 所以 AE^2=AC^2+BE^2,DE⊥AB于E

过c点做ch垂直ba于h点，则有de//hc,因为d是bc中点，所以e点是bh中点，所以be==he,，

所以ae—be==ae--he==ah,  又由三*角形ahc相似于三角形abc，所以  ac/ab=ah/ac,

即  ac^2==ab*ah==(ae+be)*(ae—be)==ae^2—be^2

所以  ae^2=ac^2+be^2

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