证明：对于任意的a,b,c,d属于R，恒有不等式（ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

证明：对于任意的a,b,c,d属于R，恒有不等式（ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

要想让原式成立必须有
(ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)
a^2c^2+b^2d^2+2abcd≤a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2
必须有a^2d^2-2abcd+b^2c^2≥0
则(ad-bc)^2≥0

上式是成立的，所以原式成立。

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(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2
=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-a^2c^2-2abcd-b^2d^2
=a^2d^2+b^2c^2-2abcd
=(ad-bc)^2>=0

所以(a^2+b^2)(c^2+d^2)〉=(ac+bd)^2
(ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

（ac+bd)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2) =[(ac)^2+(bd)^2+2abcd]- [(ac)^2+(bd)^2+(bc)^2+(ad)^2] =-(ad-bc)^2≤0 (ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)

1、

这是柯西不等式的二维形式。

a,b  c,d  两个数列，有(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2.

两边开根号即为求证。

2、

或者将两边同时平方,将右边移到左边，得(ac+bd)^2-（a^2+b^2）(c^2+d^2)=2abcd-(b^2c^2+a^2d^2)=-(bc-ad)^2≤0   所以ac+bd≤√（a^2+b^2）(c^2+d^2)