海维赛德展开定理是什么

海维赛德展开定理是什么

献于 路 称为f沿r的线积分，其中弧长:系沿r来测 如果j是一力场，则(32)表示单位质点从A名 移动到B点时力场所作的功。 式(32)中的积分值一般依赖于从A到B白 径。然而，若f二V价.则 {:(，·，)d‘一{: 一{: V尹.dr d笋~献B)一献A)， 因而线积分与积分路径无关。 斯托克斯定理称 f，.dr一仆“‘f).‘。 成立，其中厂是开口曲面S的边界。如果S是封乒 面，则 梦(;又，)·J。一。。 S 在电学理论中，由通过一个开口曲面并随a 变化的磁通量可以在曲面的边界上产生一个电 所以 刁r厂_.f~ 一弓一1 IB，d口二小E·dr。 atJJ一一J SI’ 应用斯托克斯定理可得麦克斯韦方程之一: ?火E一婆。 ”一刁t“ 参阅“算子理论，，(operator theory)、“势论”(pol tials)条。 〔拉斯(H.Lass) 间L 龚〕 成立。几何上，三重标量积表示以a， 边的平行六面体的体积: v一{a·(b Kc){。 在刚体运动的研究中，等式 c为三条棱 a丫(b只e)=(a·c)b一(a·b)e， (a义b)又e=(a·e)b一(b·e)a (14) 如果向量，的分量是单参数几的函数，则等式 dy dy，‘dy，.d刃，. 二诀~二币子i+共举了+二言k(20) d几d又.’d几Jd又”、“v 定义了v关于久的导数。 质点的位置向量由;一对十yj十zk表示。如质 点沿一轨线运动，则 所示的三重向量积是十分重要的。由等式(13)和 (14)可以推出以下等式: (a丫b)·(e沐d)=a·[b丫(e又d)二 一(a·e)(b·d) 一(a·d)(b·e)，(15) (a又b)只(c只d)=(aed)b一(bed)a =(abd)c一(abe)d。 (16) 伪向最容易验证，由岁-一二，了-一y，了 -一2给出的空间坐标的反射变换使向量的分量符 号反号。然而，作空间反射变换时，向量axb的分 量却不变号.这一点从等式(11)即可以看出。因为， 若把a，，a，a:换成一a，，一a，，一a二，又把b，，b。，，b二 换成一b二一瓦，一b时，a又b的分量保持不变。因 此，a只b不是一个真向量，而称为所谓伪向量。在 电学理论中，磁场向量B是伪向量;在坐标轴的反 射变换下，如果电荷是真标量，则电场向量是真向 量。伪向量的讨论应属张量分析的范围。与旋转有关 的向量一般属于伪向量的范畴。特别是与刚体运动 有关的角速度向量是伪向量。参阅“张量分析”(cal- eulus of tensors)条。 微分法在研究向量时，有三种微分过程具有 理论价值:标量的梯度、向量的散度和向量的旋度。 标量的梯度由式 v=vl(二，夕，z)i+vZ(二，少，z)j +刀3(了，少，z)k(17) 给定的向量场，的分量，在各个点尸(二，y，z)上取不 同值。当点从尸(，，y，z)移动到Q(二+dx，y+办，z + dz)时，式 _dr dx:.dy，}dz，- 一弓丁一甲了万‘宁石丁J宁石丁凡， 曰L“L“L“‘ __dy_dZr dZJ，。dZy，.dZzL “一历一丽一丽‘，丽J卞丽凡 描述了这个质点运动的速度和加速度向量。 因为在曲线坐标系下单位向量在空间中不一定 保持不变，因此，用曲线坐标表示向量导数的表达式 变得更加复杂。参照等式(5)，得 da da. 7-一下丁王十 昆石召乙 鲁， +会·。+·:鲁+一赞。 dar一dt 一一 从 u。=ieoss+jsino和u，一一isin夕+jeos夕 得出 些一{塑_。丝)。 dt气dt一口dt/一厂 +{瓮+二雳)一 下列等式所示的微分法则是成立的: 赢(U·，，一。. 圣(·、，。一“x 劣+佘 佘+佘 V， 又v，(22) d，，、，dy df -不又Jv)一J几;十下二v。 a八a八a八 从标量函数丸x，y，z)可以引出三个偏导数 翼，怒，翼来，由此可以作出下式中的向量: 口v:.口v.日v，. d刀，一二二d了+下万dy+二下~dz， 口沈口y口z 笋的梯度 grad笋 del笋一V笋 一毕‘+毕j+梦*。(23) Jx dy一dz l产」 产||少l几 z=1，2，3，(18) 给出了V的每个分量的微分。因为i，j，k是常向量 (包括长度和方向)，这就启示我们用式 dy一d:11+dvZj+dv3k(19) 来定义，的微分。 ·1 252· 向量grad笋有两个重要性质口grad笋是一个向量场， 在六二，y，z)一常数的曲面的每一点处垂直于曲面。 此外，grad笋是使笋增加得最快的唯一方向。若 T(x，y，z)是空间中任意一点的温度，则甲T给出 任意一点处温度增加得最快的方向。若价(x，y，:) 表示静电势，则E-一V笋是电场向量。 向童的散度与旋度由公式 冬?(r .w)。 乙 _.a二a二a V~‘兀花二十J万二二十咤万二气乙4少 a拢口少。‘ 所定义的算子在向量微分学的发展中起着重要的作 用。对于向量场(17)，，的散度由下式来定义: div，一二.，一势+挚+挚。(25) 口若oy口艺 向量的散度是一个标量。 如果P是流体的密度，v是流体的速度场，则 div(Pv)表示在单位时间内单位体积中流体质量的 递减率。体积分 丁{丁d‘·‘PV’d·dydx (26) 含有梯度、散度、旋度的公式: 1 .V(uv)二u Vv+vV“， 2 .V·(如)=价V·v+(V价)·v， 3 .VX(V护)=0， 4.V.(V Xv)=0， 5 .VX(扣)~价V Xv十(V庐)Xv， 6 .7·(u Xv)=(7 Xu)一v一(V大v)一u， 7 .7X(u Xv)=(v .V)u一v(V.“) 十u(甲.v)一(u一V)v， 8.甲(“.P)~u沐(7火v)十vX(甲只“) 十(u一V)v+(v一V)u， 9 .7X(V Xv)二V(7 .v)一V备， 10·对于笋二协(x，y，z，t)， 给出了一个固定体积v内的流体在单位时间内质量 的总减少量。 在电学理论中，电位移向量D的散度是电荷密 度的一种度量7·D一p。 利用算子7，可以完全从形式上得到公式 d，一d，·;，+豁d，， 1 1.:·(;，)一;，一筹+筹十筹， 12.若7·了二o，则了二甲XA(A称为向量势)， 13·若口X了~0，则了“V笋仔称为标量势)。 积分法如果一个封闭曲面被分成许多小曲 面，我们可以构造一个直交于曲面的向量场，每个法 向元素用d口表示，d。的大小就是曲面单元dS的 面积，因此d口二四雀‘。 如果f是在曲面的每一点上有定义的向量场， 则 k"一介v3 j二妙 i主沁 V Xv~ 公l刃2 f日v、av，\，、了av、Jv3\， =}丈-一下一1‘十}二丁一一又竺了{J \ay口zj\口2 ojz +(势一爵卜(27) 向量甲X，称为，的旋度(curl，)。在空间坐标的反 (30) a d f. 叮月s 射变换下， 垫~旦卫吐二二{鱼2 刁yJ(一y) Jv。‘~_~‘一“ “二之，等等。肪以，v的 口少 旋度是伪向量。正如前面已经指出的，伪向量族是与 空间的旋转相关联的。因此，向量场的旋度与角速度 向量场密切相关是不足为奇的。在点尸(x，y，z)的 邻近点Q(x+d，，y十dy，z十d之)处，流体的速度 可以写为 表示了通过曲面S的总流量，元素d。从曲面S的 内部指向外部。 高斯的散度定理由等式 ，。一v:+令(:x，)，火二+粤二(;·，)， 乙自 (28) 其中r是从尸到Q的向量，并且下式成立: _二1 Jv av.av\ w=L(r.V)v如={必万二十y育丫!十z蕊二二} \口孟oy口沁/户 (29) {{f·d。一J{{(;·r)J·、31) ，R 表示，其中R是S所包围的区域，dr是R的体积元 素。对于f一Pv，散度定理表明，在单位时间内流体 的净减少可以由量度向量Pv通过包围R的封闭曲 面S的向外总流量算出。 向量场的线积分可以叙述如下:令r为一空间 曲线，而设t是曲线r从起点A向终点B前进方向 的每一点处切于r的单位向量场。 标量积分 (32) S d 、1了 户乙 . 了 了气 石l‘月 w火r一般为一点的速度，是由于角速度公而产生 的。因此，甲x，二2。。在Q点的速度单纯是平移速 度，，，加上刚度旋转速度公只r，再加非刚体变形 ·1253· 向量计算(calculus of vectors) 一个向量，其最简单的形式就是一个有向线段。 物理量.诸如速度、加速度、力和位移，因为都可以 用有向线段来表示，它们都是有方向的量，或简称为 向量。向量代数的奠基性工作主要是由哈密顿和格 拉斯曼在19世纪中叶做出的。这里所采用的形式则 是19世纪末经过海维赛德和吉布斯努力而得到的 结果。因为许多物理定律可以用向量形式表示出来， 所以向量分析是数学物理学家的一种工具。 向最加法两向量a和b可按平行四边形定律 相加(图1)。一个等价的定义是:从向量a的终点 图1两个向量的加法 作一与b平行且长度和方向与b相同的向量，那么 从a的起点到b的终点引出的向量便是向量和:一a +b(图2)。任意多个向量都可按此法则相加。 给定向量a，可以作出一族平行于a而长度各 a//嘴+b a十b+e 图2三个向量的加法 异的向量，若二是实数，则二a定义为平行于a而长 度是a的{川倍的向量。对于二>。，两向量a和xa 同向，而x<。时，向量，a与向量a反向。满足a十 〔一4)一0的向量一a是向量a的负向量，其中0表 示零向量(长度为零的向量)。两个向量相减定义为 a一b二a+(一b) 下面式(I)中所指出的一些初等算术运算所遵 从的法则都可以很容易地推导出来: 图3直角坐标系中的向量 十刀。(x .y，之，约k (4) a十b一b十a， (a+b)十e二a+(b+c). J(a十b)二了a+Jb， 了(ya)二(习)a， (工十夕)‘一加+贝， 0·a一0， a十0~a。 (1) 由。十b一a+。推出b一。，由a二。，b二碑推出a +b一c十d，}a+b}翅{a}+(吞卜其中}a}为。的长度 等等。 坐标系解析几何中的笛卡儿坐标对描绘向量 是十分有用的(图3)。i，j，k是分别平行于二，y 和z轴正向的单位向量。任意向量都可以写成i，j， k的线性组合。由图3可知，式 a~a，i牛a万+a之k(2) 成立。这里标量a，，内.，a:是a分别在二，y和二轴 上的射影，称为a的分量。譬如aJ就是a的、分量， 等等。若向量b写成了b二瓦i+民j+b:k，则等式 aa+助之(aa二十娜，)i+(aa，+队)j 十(a*:+月瓦)k(3) 成立。 一般情况下，向量的各分量是空间坐标和时间 的函数。为更明确起见，考察运动中的流体。在任何 时刻，，位于P〔二，夕，z)的质点的速度分量依赖于坐 标x，y，之和时间，。因此，流体的速度场，可由 表示出来。如果向量的分量与时间无关，则此向量就 是定常向量场。一个固定的受重力作用的质点的力 场就是这种向量场。 我们不一定要用直角坐标来描述向量(图4)。 令a是砂平面中起点在P(x，刃的向量。点p帐，刃 也可用极坐标(r，的来表示。令“r，“，分别表杀。和 夕增加方向的单位向量，从图4推出 a=a，i+a，j”a二u。+a离， (5) 成立，其中 ar~a，eos乡+a。，sin夕， a，-一a声in口+口Jeos日。 v“二二(、，少，z，亡)i+。，(x，夕，二、t)j 分量“门a。描写了同一向量a。因此，坐标系只是描 写向量的一种工具，而向量是不依赖于这种描写的。 两向最的标t积或点积由两个向量a和b， 根据式子 a .b一}a}·}b}eoso(6) 来定义一个标量，其中口是从同一起点引出的这两 向量之间的夹角(图5)。立即可以验证下列公式: a·b=b·a， a·b=}。}‘， (a十b)·(c十d)~a·e+a·d+b·e十b·d， i·i一j .j二k‘k二1，(7) i.了~j·k“k·i~0o 这里，由a上b可推出a·b二o;而当}a}·}b{笋。 时，反过来亦成立。 、.2日llJ 9爪男 了‘、 亡=口义b 一}a}·}吞1 sin伽。 可以推出axb-一(b xa)。若a平行于b， 夕 axb一0;反之，若aXb~0，则当}a1·}bl并。时， a平行于b。 y八!… r产/ // /袱乏户 洲/\夕 图4极坐标系中的向量 图6两向量的向量积 图5两向量的标量积 若 a一a二i+a。「j+a二k， b=b二i+b，j+b:k， 则由式(7)可以写出 a·b=a二b二+a，b，+a:b:。(8) 如果a是沿向量b移动的力场，则a·b表示这个力 场所作的功。 参照式(5)，设 b=b，i+b，j=bru。+bou，， 则 a·b二ajb二+a。，bo.~aob+aob。 一(a二eoso+ao.sino)(b，eos夕+b。，sin夕) 可以证明向量积满足分配律，所以等式 (a+b)只(e+沙) =a火e+a又d+bXe十bXd(10) 成立。 当 a一a二i+a，j+a:k， b一b二i十b，j斗一bzk 时，根据 iXi一jXj一kXk~0， iXj一k，j义k~i，kXi一j 可知，式 a只b一 (11) kaz瓦 J凡乞 ‘乌瓦 +(一a二5 ino+a。，eos夕) x(一b二sin夕+b。，eos口)。 成立。式(11)的右边应按行列式所遵守的通常的法 则(按第一行)来展开。 另外，还可以引出向量积和标量积的多重乘积 来。下列等式即给出了三重标量积: (12) 引州引 气左.几 凡瓦乌 一一 C 火 b a 因此，两向量的标量积不依赖于描述它们的坐标系， 从式(6)所给的标量积定义也可很明显地看出来。 两向量的向量积或叉积在三维空间中，如果 两向量a，b不平行，则可由如下方式来作出另一向 量。设a和b有一公共起点，这两个向量就决定一平 面;令c是垂直于此平面而长度为}。卜}川}blsin夕 的向量。若从a转动角度夕而到b，则。的方向由右 手螺旋前进方向来决定(图6)。于是可以写出 可以证明，等式 a·(b丫c) =(a又b)·e二(a bc) (13) ·1251·
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