在矩形ABCD的边AB,BC,CA,DA上分别取异于顶点的K,L,M,N,已知KL‖MN，证明KM与LN的交点O在矩形的对角线BD上

在矩形ABCD的边AB,BC,CA,DA上分别取异于顶点的K,L,M,N,已知KL‖MN，证明KM与LN的交点O在矩形的对角线BD上

如上图所示，假设点O不在BD对角线上，那么∠BOL≠∠NOD，也就是这两个角不是对顶角，这里用到反证法证明。
∵KL∥MN
∴△OKL∽△OMN，∠OKL=OMN
∴OK/OM=KL/MN=OL/ON
∵AB∥CD
∴∠OMD=∠OKB
∴∠NMD=∠LKB
∵∠MDN=∠KBL=90°
∴△KBL∽△MDN（两角对应相等）
∴BL/DN=KL/MN
∴BL/DN=KL/MN=OL/ON
∵AD∥BC
∴∠OND=∠OLB
∴△OND∽△OLB（两边对应成比例，且夹角相等）
∴∠NOD=∠LOB
∴这两个角是对顶角
与假设相互矛盾，所以交点O在矩形对角线BD上

假设LNBD交与点O连接OKOMBD交LK NM 于点 PQ

MN//LK所以角OPK=角OQM KP/MQ=PO/OQ

从而得出三角形OPK 相似OMQ

所以 角KOP=角MOQ

所以OK与OM在一条直线上

所以 KM与LN的交点O在矩形的对角线BD上