设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+a).
答案:2 悬赏:0
解决时间 2021-01-24 10:01
- 提问者网友:我一贱你就笑
- 2021-01-24 00:44
设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+a).
最佳答案
- 二级知识专家网友:风格不统一
- 2021-01-24 01:52
解: 设函数F(x) = f(a+x)-f(x) 则F(x)在[0,2a]上连续
F(a) = f(a+a)-f(a)=f(2a)-f(a) 又因为f(0)=f(2a) 所以F(a) =f(0)-f(a)
F(0) = f(a)-f(0) =-F(a)
由连续区间函数介值定理,必然存在一点ξ,使得F(X)的值为0
若使得F(x)=0,意味着f(a+x)-f(x)=0所以f(a+x)=f(x)得证。
F(a) = f(a+a)-f(a)=f(2a)-f(a) 又因为f(0)=f(2a) 所以F(a) =f(0)-f(a)
F(0) = f(a)-f(0) =-F(a)
由连续区间函数介值定理,必然存在一点ξ,使得F(X)的值为0
若使得F(x)=0,意味着f(a+x)-f(x)=0所以f(a+x)=f(x)得证。
全部回答
- 1楼网友:往事埋风中
- 2021-01-24 03:15
设函数g(x)=f(x)-f(x+a),于是g(0)=f(0)-f(a)=-[f(a)-f(2a)]=-g(a),若g(0)=0,则结论成立;
若g(0)≠0,则g(0)*g(a)<0,由连续函数的介值定理可知在[0,a]上存在ξ使得g(ξ)=0 即 f(ξ)=f(ξ+a)
若g(0)≠0,则g(0)*g(a)<0,由连续函数的介值定理可知在[0,a]上存在ξ使得g(ξ)=0 即 f(ξ)=f(ξ+a)
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